Доказательство ВТФ для 3-ей степени

[PhisicBGA]

Как известно, равенство для тринома 3-й степени

$$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$

, где $x,y,z$-целые числа, задаёт условие при котором может выполнятся уравнение Ферма для этой степени.
Предположим, что целые числа $x_1,y_1,z_1$ - взаимно простые, $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1$ и для этих чисел выполняется равенство

$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$

Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство

$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$

Поскольку $z_1>y_1$ , то обозначим $z_1-y_1=m$ , где $m$ - положительное целое число.
Тогда равенство (3) будет

$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$

Что бы это равенство выполнялось $x_1$ должно быть кратно $m$, т.е. $x_1=km$,где $k$-целое число.
Тогда

$$(km-m)^3=3m(z_1-km)[z_1+(k-1)m] $$

$$m^2(k-1)^3=3(z_1-km)[z_1+(k-1)m] \eqno (4)$$

Но $m=z_1-y_1$, а числа $z_1, y_1$ - взаимно простые. Следовательно и числа $z_1, m$ так же взаимно простые. Но для взаимно простых чисел $z_1 , m $ равенство (4) не выполняется, а, следовательно, не выполняется и равенство (3),которое является условием для выполнения равенства (2), согласно равенству для тринома (1).Следовательно, равенство (2) так же не выполняется для всех взаимно простых целых чисел, поскольку числа $x_1, y_1, z_1$ , были взяты произвольно.
Однако, в частном случае соседних кубов $z_1-y_1 =m=1$ и тестовое равенство (3) принимает следующий вид

$$(x_1-1)^3=3(z_1-x_1)(x_1+z_1-1) \eqno (5)$$

и прежнее доказательство не работает.
Для этого частного случая замечаем, что согласно равенству (2), которое в этом случае будет

$$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$

число $ x_1 $ всегда будет не чётным, а в равенстве (5) одна из скобок в правой части будет чётным числом, вне зависимости от чётности $z_1$.
Поэтому, без потери общности, положим $z_1-1=2a ; x_1-1=6c $, где $a, c$- целые числа.
Тогда равенство (5) будет

$$(6c)^3=3(2a-6c)(2a+6c+1) $$

$$6^2(c)^3=(a-3c)(2a+6c+1) \eqno (7)$$

Но в любых целых числах $a, c$ равенство (7) не разрешимо. Следовательно, неразрешимо в целых числах и равенство (5), которое является условием для выполнения равенства (6) согласно равенству для тринома (1).

Таким образом, доказано, что в частном случае соседних кубов уравнение Ферма неразрешимо в целых числах, а в общем случае оно неразрешимо в целых взаимно простых числах.

[kotenok gav]

PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):

Что бы это равенство выполнялось $x_1$ должно быть кратно $m$

(чтобы)
Не факт.

[PhisicBGA]

kotenok gav писал(а):

(чтобы)
Не факт.

Тогда равенство (3) будет

$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$

Рассмотрим это равенство. В правой части стоит число $m$ и оно никуда не денется, т.к. числа $z_1, x_1$ целые. Следовательно, левая часть равенства должна быть пропорциональной числу $m$.А это возможно только тогда, когда $x_1$ будет пропорционально числу $m$

[kotenok gav]

PhisicBGA в сообщении #1521016 писал(а):

А это возможно только тогда, когда $x_1$ будет пропорционально числу $m$

Нет. $(60-54)^3$ делится на $54$, но $60$ на $54$ не делится.

[PhisicBGA]

kotenok gav писал(а):

Нет. $(60-54)^3$ делится на $54$, но $60$ на $54$ не делится.

Спасибо. Контрпример хороший. А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

[kotenok gav]

PhisicBGA в сообщении #1521037 писал(а):

Спасибо. Контрпример хороший. А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

Разумеется, нет.
Более того, скажу вам сразу - если вы сводите общий случай к соседним кубам - в вашем доказательстве практически гарантированно есть ошибка. Насколько я помню, случай соседних кубов доказывается довольно тривиально.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1521092 писал(а):

Насколько я помню, случай соседних кубов доказывается довольно тривиально.

И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

-- Чт июн 03, 2021 23:06:47 --

PhisicBGA в сообщении #1521037 писал(а):

А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

На всякий случай напомню: никто не обязан приводить контрпримеры к Вашим утверждениям, но Вы обязаны давать полные доказательства всех утверждений, которые Вы делаете (по крайней мере, по первой просьбе об этом).

[Antoshka]

nnosipov в сообщении #1521097 писал(а):

И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

Я точно помню, что вы писали, что случай соседних кубов доказывается не проще общего

[kotenok gav]

nnosipov в сообщении #1521097 писал(а):

И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

Сходу не нашёл (кроме вашей темы «Из трудов ферматистов», но там ещё более частный случай), наверное, ошибся.

[PhisicBGA]

nnosipov писал(а):

На всякий случай напомню: никто не обязан приводить контрпримеры к Вашим утверждениям...

Конечно же Вы правы - не обязан, и это правильно. Но в данном случае, контрпример появился произвольно в процессе обсуждения и был для меня неожиданным. Поэтому я и попросил о контрпримере для частного случая: вдруг и для него есть такой.
Кстати, контрпример хороший, но не "жизнеспособный". Действительно, имеем равенства

$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 $$

$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$

Для случая из контрпримера $x_1=60, m=z_1-y_1=54$. Значит $x_1$ - чётное, $z_1, y_1$ - не чётные. Получаем

$$(60-54)^3=3(54)(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$

$$4=3(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$

Равенство не справедливое, т.к. в скобках правой части - не чётные числа.

[kotenok gav]

Ок, возьмите $x_1=90$ и $m=24$.

[dick]

kotenok gav
Физкультпривет. Год назад Вы соглашались с моим доказательством для соседних, и вдруг, "сходу не нашел". Когда Вы шутили, тогда или сейчас?

[kotenok gav]

(Оффтоп)

dick, во-первых, тут это оффтоп. Во-вторых, я с вашим доказательством не соглашался - вы сами попросили сначала разобраться с первой частью.

[Antoshka]

PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):

Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство

$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$

Вообще, если $z$ делится на $9$, то верно следующее

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y_1=m^3+3mwA, \\ x_1=w^3+3mwA, \\ z_1=m^3+3mwA+w^3,m,w,A\in\mathbb{N} \end{array} \right$$

Данные равенства уже приводились другими участниками. Я тоже их получил, но другим способом. С учётом этого указанное вами равенство прекрасно выполняется

[PhisicBGA]

Antoshka в сообщении #1521282 писал(а):

PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):

Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство

$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$

Вообще, если $z$ делится на $9$, то верно следующее

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y_1=m^3+3mwA, \\ x_1=w^3+3mwA, \\ z_1=m^3+3mwA+w^3,m,w,A\in\mathbb{N} \end{array} \right$$

Данные равенства уже приводились другими участниками. Я тоже их получил, но другим способом. С учётом этого указанное вами равенство прекрасно выполняется

Следовательно, в этом случае, согласно равенству для тринома (1), должно так же прекрасно выполняться и равенство (2), т.е.
равенство

$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$

Так?