Как известно, равенство для тринома 3-й степени
![$$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$ $$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/0/e70c456be6ecf51a6995403fedc905d482.png)
, где
![$x,y,z$ $x,y,z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/244be3c7db382d3e1400c7c4caa1023a82.png)
-целые числа, задаёт условие при котором может выполнятся уравнение Ферма для этой степени.
Предположим, что целые числа
![$x_1,y_1,z_1$ $x_1,y_1,z_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bda90594f46fd12375c08551cdd113682.png)
- взаимно простые,
![$z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1$ $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/6/ce664d42e34c2ec3718c1f2cc384f68182.png)
и для этих чисел выполняется равенство
![$$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$ $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/a/42a6d796d09bc1b74480933ad69e737882.png)
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство
![$$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$ $$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/5/9150062c731ed5944aa567c1dab652a782.png)
Поскольку
![$z_1>y_1$ $z_1>y_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/c/d2cb5bbcb2ead346ec9edaebe5be001e82.png)
, то обозначим
![$z_1-y_1=m$ $z_1-y_1=m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/6/50616b2696ed5cb6bf6f936d48e96b9f82.png)
, где
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
- положительное целое число.
Тогда равенство (3) будет
![$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$ $$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b18a008cdda1cf91d193b25701f6c9682.png)
Что бы это равенство выполнялось
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
должно быть кратно
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
, т.е.
![$x_1=km$ $x_1=km$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/f/caf266333ca0c10ab4b1f684d4a44d1a82.png)
,где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-целое число.
Тогда
![$$m^2(k-1)^3=3(z_1-km)[z_1+(k-1)m] \eqno (4)$$ $$m^2(k-1)^3=3(z_1-km)[z_1+(k-1)m] \eqno (4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/8/9b861aab47382574f766d97921276e8282.png)
Но
![$m=z_1-y_1$ $m=z_1-y_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/3/c437f6d3ef22a780b3d8d3e94750906582.png)
, а числа
![$z_1, y_1$ $z_1, y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/2/f12749b959c9085321ea89d0adb9631a82.png)
- взаимно простые. Следовательно и числа
![$z_1, m$ $z_1, m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/9/3f9c4ec95fdfd9e0ac720552a0cee6c882.png)
так же взаимно простые. Но для взаимно простых чисел
![$z_1 , m $ $z_1 , m $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/a/5ca708104c7c06e1f7d2cc12afcac42382.png)
равенство (4) не выполняется, а, следовательно, не выполняется и равенство (3),которое является условием для выполнения равенства (2), согласно равенству для тринома (1).Следовательно, равенство (2) так же не выполняется для всех взаимно простых целых чисел, поскольку числа
![$x_1, y_1, z_1$ $x_1, y_1, z_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/92959c9d5971470fac59aba0590d00f382.png)
, были взяты произвольно.
Однако, в частном случае соседних кубов
![$z_1-y_1 =m=1$ $z_1-y_1 =m=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/872f57d4dfb58850f8549dca2e7879dc82.png)
и тестовое равенство (3) принимает следующий вид
![$$(x_1-1)^3=3(z_1-x_1)(x_1+z_1-1) \eqno (5)$$ $$(x_1-1)^3=3(z_1-x_1)(x_1+z_1-1) \eqno (5)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/5/f653b8b183d123ce753ebba5a13048df82.png)
и прежнее доказательство не работает.
Для этого частного случая замечаем, что согласно равенству (2), которое в этом случае будет
![$$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$ $$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/f/00f740a0646058b1ae10f4ee9499cac582.png)
число
![$ x_1 $ $ x_1 $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd71d4c07531ce53dc5d08d0d7e152482.png)
всегда будет не чётным, а в равенстве (5) одна из скобок в правой части будет чётным числом, вне зависимости от чётности
![$z_1$ $z_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/4/9846e95013d0238ac53659ac26ee63f282.png)
.
Поэтому, без потери общности, положим
![$z_1-1=2a ; x_1-1=6c $ $z_1-1=2a ; x_1-1=6c $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/3/3e32266228bf63c0171d83fcaefa612d82.png)
, где
![$a, c$ $a, c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/7598bc52208c5db532bf2ff630a0f91482.png)
- целые числа.
Тогда равенство (5) будет
![$$(6c)^3=3(2a-6c)(2a+6c+1) $$ $$(6c)^3=3(2a-6c)(2a+6c+1) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c19ac1d5783b2d881857b82f81eb9482.png)
![$$6^2(c)^3=(a-3c)(2a+6c+1) \eqno (7)$$ $$6^2(c)^3=(a-3c)(2a+6c+1) \eqno (7)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/4/a247ac38dd06b73c81da88ef19b6c05482.png)
Но в любых целых числах
![$a, c$ $a, c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/9/7598bc52208c5db532bf2ff630a0f91482.png)
равенство (7) не разрешимо. Следовательно, неразрешимо в целых числах и равенство (5), которое является условием для выполнения равенства (6) согласно равенству для тринома (1).
Таким образом, доказано, что в частном случае соседних кубов уравнение Ферма неразрешимо в целых числах, а в общем случае оно неразрешимо в целых взаимно простых числах.