2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 11:04 


06/02/14
186
Как известно, равенство для тринома 3-й степени $$(x+y-z)^3=(x^3+y^3-z^3)+3(z-y)(z-x)(x+y) \eqno (1)$$ , где $x,y,z$-целые числа, задаёт условие при котором может выполнятся уравнение Ферма для этой степени.
Предположим, что целые числа $x_1,y_1,z_1$ - взаимно простые, $z_1>x_1; z_1>y_1; x_1+y_1>z_1$ и для этих чисел выполняется равенство $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство $$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$
Поскольку $z_1>y_1$ , то обозначим $z_1-y_1=m$ , где $m$ - положительное целое число.
Тогда равенство (3) будет $$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$
Что бы это равенство выполнялось $x_1$ должно быть кратно $m$, т.е. $x_1=km$,где $k$-целое число.
Тогда $$(km-m)^3=3m(z_1-km)[z_1+(k-1)m]  $$
$$m^2(k-1)^3=3(z_1-km)[z_1+(k-1)m] \eqno (4)$$
Но $m=z_1-y_1$, а числа $z_1, y_1$ - взаимно простые. Следовательно и числа $z_1, m$ так же взаимно простые. Но для взаимно простых чисел $z_1 , m $ равенство (4) не выполняется, а, следовательно, не выполняется и равенство (3),которое является условием для выполнения равенства (2), согласно равенству для тринома (1).Следовательно, равенство (2) так же не выполняется для всех взаимно простых целых чисел, поскольку числа $x_1, y_1, z_1$ , были взяты произвольно.
Однако, в частном случае соседних кубов $z_1-y_1 =m=1$ и тестовое равенство (3) принимает следующий вид
$$(x_1-1)^3=3(z_1-x_1)(x_1+z_1-1) \eqno (5)$$ и прежнее доказательство не работает.
Для этого частного случая замечаем, что согласно равенству (2), которое в этом случае будет $$x_{1}^3+(z_{1}-1)^3-z_{1}^3 =0 \eqno (6)$$ число $ x_1 $ всегда будет не чётным, а в равенстве (5) одна из скобок в правой части будет чётным числом, вне зависимости от чётности $z_1$.
Поэтому, без потери общности, положим $z_1-1=2a ; x_1-1=6c $, где $a, c$- целые числа.
Тогда равенство (5) будет $$(6c)^3=3(2a-6c)(2a+6c+1) $$
$$6^2(c)^3=(a-3c)(2a+6c+1) \eqno (7)$$
Но в любых целых числах $a, c$ равенство (7) не разрешимо. Следовательно, неразрешимо в целых числах и равенство (5), которое является условием для выполнения равенства (6) согласно равенству для тринома (1).

Таким образом, доказано, что в частном случае соседних кубов уравнение Ферма неразрешимо в целых числах, а в общем случае оно неразрешимо в целых взаимно простых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 11:20 


21/05/16
4157
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):
Что бы это равенство выполнялось $x_1$ должно быть кратно $m$

(чтобы)
Не факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 11:48 


06/02/14
186

kotenok gav
писал(а):
(чтобы)
Не факт.

Тогда равенство (3) будет$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$Рассмотрим это равенство. В правой части стоит число $m$ и оно никуда не денется, т.к. числа $z_1, x_1$ целые. Следовательно, левая часть равенства должна быть пропорциональной числу $m$.А это возможно только тогда, когда $x_1$ будет пропорционально числу $m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 12:00 


21/05/16
4157
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1521016 писал(а):
А это возможно только тогда, когда $x_1$ будет пропорционально числу $m$

Нет. $(60-54)^3$ делится на $54$, но $60$ на $54$ не делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 13:59 


06/02/14
186

kotenok gav
писал(а):
Нет. $(60-54)^3$ делится на $54$, но $60$ на $54$ не делится.


Спасибо. Контрпример хороший. А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 18:32 


21/05/16
4157
Аделаида
PhisicBGA в сообщении #1521037 писал(а):
Спасибо. Контрпример хороший. А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?

Разумеется, нет.
Более того, скажу вам сразу - если вы сводите общий случай к соседним кубам - в вашем доказательстве практически гарантированно есть ошибка. Насколько я помню, случай соседних кубов доказывается довольно тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 19:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8286
kotenok gav в сообщении #1521092 писал(а):
Насколько я помню, случай соседних кубов доказывается довольно тривиально.
И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

-- Чт июн 03, 2021 23:06:47 --

PhisicBGA в сообщении #1521037 писал(а):
А не могли бы Вы привести такой же контрпример для частного случая соседних кубов?
На всякий случай напомню: никто не обязан приводить контрпримеры к Вашим утверждениям, но Вы обязаны давать полные доказательства всех утверждений, которые Вы делаете (по крайней мере, по первой просьбе об этом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 20:52 


13/05/16
131
nnosipov в сообщении #1521097 писал(а):
И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

Я точно помню, что вы писали, что случай соседних кубов доказывается не проще общего

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 20:56 


21/05/16
4157
Аделаида
nnosipov в сообщении #1521097 писал(а):
И что же это за тривиальное доказательство? Вы ничего не путаете?

Сходу не нашёл (кроме вашей темы «Из трудов ферматистов», но там ещё более частный случай), наверное, ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 21:59 


06/02/14
186
nnosipov писал(а):
На всякий случай напомню: никто не обязан приводить контрпримеры к Вашим утверждениям...


Конечно же Вы правы - не обязан, и это правильно. Но в данном случае, контрпример появился произвольно в процессе обсуждения и был для меня неожиданным. Поэтому я и попросил о контрпримере для частного случая: вдруг и для него есть такой.
Кстати, контрпример хороший, но не "жизнеспособный". Действительно, имеем равенства $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 $$
$$(x_1-m)^3=3m(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$
Для случая из контрпримера $x_1=60, m=z_1-y_1=54$. Значит $x_1$ - чётное, $z_1, y_1$ - не чётные. Получаем $$(60-54)^3=3(54)(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$
$$4=3(z_1-x_1)(z_1+x_1-m)$$
Равенство не справедливое, т.к. в скобках правой части - не чётные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение03.06.2021, 23:24 


21/05/16
4157
Аделаида
Ок, возьмите $x_1=90$ и $m=24$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение04.06.2021, 12:10 


17/06/18
196
kotenok gav
Физкультпривет. Год назад Вы соглашались с моим доказательством для соседних, и вдруг, "сходу не нашел". Когда Вы шутили, тогда или сейчас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение04.06.2021, 13:01 


21/05/16
4157
Аделаида

(Оффтоп)

dick, во-первых, тут это оффтоп. Во-вторых, я с вашим доказательством не соглашался - вы сами попросили сначала разобраться с первой частью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение05.06.2021, 11:57 


13/05/16
131
PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство $$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$

Вообще, если $z$ делится на $9$, то верно следующее $$\left\{
\begin{array}{lcl}
y_1=m^3+3mwA, \\
x_1=w^3+3mwA, \\
z_1=m^3+3mwA+w^3,m,w,A\in\mathbb{N}
\end{array}
\right$$
Данные равенства уже приводились другими участниками. Я тоже их получил, но другим способом. С учётом этого указанное вами равенство прекрасно выполняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 3-ей степени
Сообщение07.06.2021, 20:31 


06/02/14
186
Antoshka в сообщении #1521282 писал(а):
PhisicBGA в сообщении #1521014 писал(а):
Тогда, согласно равенству для тринома (1) должно выполнятся и равенство $$(x_1+y_1-z_1)^3=3(z_1-y_1)(z_1-x_1)(x_1+y_1) \eqno (3)$$

Вообще, если $z$ делится на $9$, то верно следующее $$\left\{
\begin{array}{lcl}
y_1=m^3+3mwA, \\
x_1=w^3+3mwA, \\
z_1=m^3+3mwA+w^3,m,w,A\in\mathbb{N}
\end{array}
\right$$
Данные равенства уже приводились другими участниками. Я тоже их получил, но другим способом. С учётом этого указанное вами равенство прекрасно выполняется


Следовательно, в этом случае, согласно равенству для тринома (1), должно так же прекрасно выполняться и равенство (2), т.е.
равенство $$x_{1}^3+y_{1}^3-z_{1}^3 =0 \eqno (2)$$ Так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group