Единственность разложения на простейшие

[EminentVictorians]

Пусть $A$ - евклидово кольцо. Правильную дробь (из поля дробей $A(x)$) $\frac{f}{g} = \frac{f}{p_1^{k_1}\cdot ... \cdot p_s^{k_s}}$ можно разложить в сумму простейших дробей со знаменателями $p_1, ... , p_1^{k_1}, ... , p_s, ... , p_s^{k_s}$. С самим разложением у меня вопросов нету. Я не могу доказать его единственность.

Следуя указанию из учебника, я доказал, что правильная дробь $\frac{f}{g_1\cdot...\cdot g_s}$ (где все $g_i$ взаимно простые) разлагается в сумму $\frac{\varphi_1}{g_1} + ... + \frac{\varphi_s}{g_s}$ правильных дробей со знаменателями $g_1, ... ,g_s$, причем это разложение единственно (с точностью до перестановки дробей). Это должно как-то использоваться для доказательства единственности разложения на простейшие, но я не вижу как. В общем, помогите разобраться, как эту единственность доказать.

[lel0lel]

Можно так. Предположим, что есть два различных разложения. Записать их разность, которая равна нулю. Предположим, что коэффициент при какой-то дроби отличен от нуля, начинать нужно с наименьших степеней.Тогда умножив на знаменатель этой дроби, получим некий полином и ещё несократимые дроби, это не может быть равно нулю. Следовательно исследуемый коэффициент в полученной разности нулевой. Надо только аккуратность навести.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520537 писал(а):

Предположим, что коэффициент при какой-то дроби отличен от нуля.

Вот здесь не очень понятно. Предположим, что есть 2 разных разложения. Запишем их разность, которая будет равна нулю. Эта разность - это просто разность дробей, наподобие $\frac{a_1}{b_1} + ... +\frac{a_i}{b_i} + ... + \frac{a_z}{b_z}$ (я сразу минусы на плюсы заменил). О каких коэффициентах идет речь?

-- 30.05.2021, 21:22 --

А, кажется понял. Есть ненулевой коэффициент перед какой-то дробью.

-- 30.05.2021, 21:27 --

С этим местом разобрался: получили нетривиальную сумму простейших дробей, равную нулю. Дальше из этого противоречие выводим, верно?

[lel0lel]

Получим $\frac{a_1-a_1'}{b_1} + ... +\frac{a_i-a_i'}{b_i} + ... + \frac{a_z-a_z'}{b_z}=0$. Про коэффициенты, возможно, не нужно упоминать, лучше говорить про числители дробей. Начиная умножать на меньшие степени имеющихся знаменателей, придëм к заключению, что все числители нулевые.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520542 писал(а):

Начиная умножать на меньшие степени

Допустим после убирания дробей с нулевыми числителями выражение $\frac{a_1-a_1'}{b_1} + ... +\frac{a_i-a_i'}{b_i} + ... + \frac{a_z-a_z'}{b_z}$ превратилось в $\frac{a_i-a_i'}{b_i} + \frac{a_j-a_j'}{b_j}$ (числители этих дробей ненулевые и пусть их будет две, чтобы не сложно было). Далее умножаем на $b_i \cdot b_j$ или на другое?

[lel0lel]

Пусть превратилось в $\frac{a_i-a_i'}{p_i} + \frac{a_j-a_j'}{p_j^2}+\frac{a_k-a_k'}{p_j^3}=0$. Умножим сначала на $p_i$, поскольку сократится только первый знаменатель, то приходим к выводу, что $a_i=a_i'$. Теперь домножаем на $p_j^2$.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520547 писал(а):

Умножим сначала на $p_i$

Получится $(a_i-a_i') + \frac{(a_j-a_j')p_i}{p_j^2}+\frac{(a_k-a_k')p_i}{p_k^3}=0$. Не вижу, где тут противоречие...

[lel0lel]

Полином плюс несократимая дробь, тогда найдутся значения $x$, при которых это не ноль.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520554 писал(а):

Полином плюс несократимая дробь, тогда найдутся значения $x$, при которых это не ноль.

Все равно не понимаю. Во-первых, несократимых дробей не бывает, бывает лишь несократимый вид дроби. Но это бы ладно, можно в качестве вольности речи говорить про несократимую дробь, главное помнить, что это не характеристика дроби, а лишь ее представление. Во-вторых, у любой дроби есть несократимый вид, причем не обязательно в единственном числе (несократимый вид определен с точностью до умножения на обратимые элементы кольца). Например, дробь $\frac{1-x}{1}$ является несократимой. Ну вот и возьмем $(x - 1) + \frac{1-x}{1}$. Сумма полинома и несократимой дроби равна нулю, все в порядке.

[lel0lel]

Если кольцо факториально, то несократимые или неприводимые дроби существуют. Не понимаю почему о них нельзя говорить.

EminentVictorians в сообщении #1520559 писал(а):

несократимый вид определен с точностью до умножения на обратимые элементы кольца

Это так, но можно выбрать условие, которое сделает вид несократимых дробей однозначным, смотреть https://en.m.wikipedia.org/wiki/Irreducible_fraction

EminentVictorians в сообщении #1520559 писал(а):

Например, дробь $\frac{1-x}{1}$ является несократимой.

Да, это так. Но давайте учтëм, что в нашей несократимой дроби знаменатель это полином степени не ниже первой.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520565 писал(а):

Если кольцо факториально, то несократимые или неприводимые дроби существует. Не понимаю почему о них нельзя говорить.

Я это вот как понимаю. Для упрощения сути дела, рассмотрим кольцо $\mathbb{Z}$ целых чисел. Так вот, $\frac{2}{3}$ это не дробь. И $\frac{7}{5}$ тоже не дробь. Дробь - это класс эквивалентности по понятно какому отношению. Т.е. дробь - это множество, которое, например, кроме $\frac{2}{3}$ содержит еще и $\frac{4}{6}$. А вот то, что операции в поле дробей согласованы с операциями над представителями и позволяет нам в качестве вольности речи считать $\frac{2}{3}$ дробью, но не более.

lel0lel в сообщении #1520565 писал(а):

Посмотрите определение, в нём указано, что единицы в знаменателе быть не должно.

Я читаю Винберга, поэтому определение оттуда.

Винберг, стр. 149 писал(а):

Если $A$ - евклидово кольцо, то путем сокращения числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель любая дробь приводится к виду $\frac{a}{b}$, где $(a, b) = 1$. Такой вид дроби называется несократимым. (Допуская вольность речи, обычно говорят просто о несократимой дроби.)

Я не вижу здесь условия, что знаменатель не должен быть равен единице.

[lel0lel]

EminentVictorians в сообщении #1520568 писал(а):

Я читаю Винберга, поэтому определение оттуда.

Да, я поправился выше, знаменатель может быть равен единице. С определением всё хорошо. Но только в нашем случае он не единица.

Давайте скажем в доказательстве про обсуждаемую дробь, что она не может быть приведена к виду, в котором знаменатель это число. Либо действительно домножать сразу на все знаменатели и использовать алгоритм Евклида.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520569 писал(а):

С определением всё хорошо. Но только в нашем случае он не единица.

Вот у дроби $\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$ знаменатель единица или не единица? По мне так этот вопрос имеет смысл ставить только для вида дроби (да еще и несократимого наверное). Это я к тому, что 2 последние дроби в равенстве

EminentVictorians в сообщении #1520549 писал(а):

$(a_i-a_i') + \frac{(a_j-a_j')p_i}{p_j^2}+\frac{(a_k-a_k')p_i}{p_k^3}=0$

не факт, что приведены к несократимому виду.

Более того, а вдруг они вообще неправильные обе? Тогда выделим из них целые части, сложим их, получим многочлен, и вдруг он окажется противоположным к $(a_i - a_i')$. У меня к Вам просьба - объясните все немного подробнее, потому что у меня пока даже общей картины в голове не складывается.

[lel0lel]

Может так будет нагляднее: из

lel0lel в сообщении #1520547 писал(а):

$\frac{a_i-a_i'}{p_i} + \frac{a_j-a_j'}{p_j^2}+\frac{a_k-a_k'}{p_j^3}=0$

получим
$(a_i-a_i')p_j^3 + ((a_j-a_j')p_j+\(a_k-a_k')p_i=0$, тогда $p_i$ делит $a_i- a_ i'$, но это возможно только если $a_i- a_ i'=0$, поскольку степень полинома $a_i- a_ i'$ меньше чем степень $p_i$.

[EminentVictorians]

lel0lel в сообщении #1520547 писал(а):

$\frac{a_i-a_i'}{p_i} + \frac{a_j-a_j'}{p_j^2}+\frac{a_k-a_k'}{p_j^3}=0$

А у третьей дроби в знаменателе не $p_k^3$ должно быть?

-- 31.05.2021, 01:11 --

Я просто немного в обозначениях запутался. Это либо отдельная дробь с отдельной буквой $k$, либо эти 2 дроби - это простейшие со знаменателями $p_j^2$, $p_j^3$?