2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 52, 53, 54, 55, 56  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.05.2021, 17:48 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
fiviol в сообщении #1518130 писал(а):
Ура, я стал тысячником!

Я планировал торжественно обнародовать этот (и еще один) факт по окончании тура.
Но, оказывается, среди марафонцев не только я умею считать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.05.2021, 20:30 


21/05/16
4170
Аделаида
VAL в сообщении #1518100 писал(а):
Назовем натуральное число Sm$ допустимым, если существует такое $n$, что из чисел

VAL в сообщении #1518100 писал(а):
поскольку $148=13+258+4+69+7$.

У вас здесь вёрстка поста поехала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.05.2021, 20:54 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
kotenok gav в сообщении #1518160 писал(а):
У вас здесь вёрстка поста поехала.
Спасибо! Поправил.

PS: А 148 точно не равно 1? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение12.05.2021, 01:04 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
И срок приема решений ММ269 тоже продлен. На этот раз по просьбе конкурсанта.
Решения принимаются до 24:00 14.05.2021

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение15.05.2021, 09:40 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
==========================

Вектором граней выпуклого многогранника $P$ назовем набор $[f_3, f_4, \dots, f_s]$, где $f_i$ – количество i-угольных граней $P$, а $s$ - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что $P$ относится к классу $m$, если $max(f_i)=m$.

===========ММ269===============

ММ269 (11 баллов)

Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника
a) класса 3;
b) класса 4?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.

Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ $3m-3$ не годится!
В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)
Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).

Награды

За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 18;
Мераб Левиашвили - 16;
Анатолий Казмерчук - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Василий Дзюбенко - 11;
Александр Романов - 11;
Виктор Филимоненков - 11;
Денис Овчинников - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM269_Polubasoff.pdf [566.94 Кб]
Скачиваний: 55
Комментарий к файлу: Решение Константина Шамсутдинова
Shamsutdinov_MM269.docx [82.23 Кб]
Скачиваний: 46
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_mm___269.pdf [872.68 Кб]
Скачиваний: 48
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение23.05.2021, 14:00 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
==========================

Вектором граней выпуклого многогранника $P$ назовем набор $[f_3, f_4, \dots, f_s]$, где $f_i$ – количество i-угольных граней $P$, а $s$ - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что $P$ относится к классу $m$, если $max(f_i)=m$.

===========ММ270===============

ММ270 (16 баллов)

Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса $m$.


Решение

Привожу решения призеров конкурса, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука, а также обобщение задачи победителя конкурса Мераба Левиашвили .

Обсуждение

В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений $m$, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.

Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень $n$) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения $m$, для которых существуют n-мерные политопы класса $m$ и верхние оценки для числа граней таких политопов для $n \in \{4, 5\}$, а также некоторые оценки для $n \in \{6, 7\, \8}$. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.

Во всех присланных решениях имеется содержится ответ $7m-4$ для больших значений $m$. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений $m$, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где $7m-4$ именно гипотеза).


Награды

За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 18;
Олег Полубасов - 16;
Анатолий Казмерчук - 16;
Александр Романов - 16;
Константин Шамсутдинов - 10;
Виктор Филимоненков - 10;
Денис Овчинников - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

Подведение итогов конкурса и обсуждение некоторых назревших проблем Марафона будут опубликованы в ближайшее время


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_mm_270.pdf [646.01 Кб]
Скачиваний: 47
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM270_Polubasoff.pdf [571.19 Кб]
Скачиваний: 44
Комментарий к файлу: Обобщение ММ270 от Мераба Левиашвили
-ММ270.docx [20.96 Кб]
Скачиваний: 48
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение23.05.2021, 17:58 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
Как известно, «В иерархической системе каждый индивидуум имеет тенденцию подняться до уровня своей некомпетентности».
Ведущий Математического марафона - тоже человек. Я не уверен, что реализовал упомянутый принцип на основной работе: там, все же, много всяких факторов и равнодействующая довольно случайна. А вот в Марафоне все по-иному. Ведущий - сам себе хозяин, и помешать ему (или, все же, уберечь его?) некому.

В результате я стал заложником и жертвой своих же правил, согласно которым в Марафоне всячески приветствуются и поощряются аналоги и обобщения исходных задач. С базовыми задачами все просто. Если автору не удается самому решить придуманную задачу, всегда можно упростить ее, рассмотреть лишь частный случай, а то и вовсе отказаться от идеи. Что, собственно, я и делал многократно. Правда, иногда, например, в давней задаче ММ45 я предложил конкурсантам решить то, что не умел решать сам (уж больно хотелось узнать решение). Но это, все же, исключение. Бывали и другие случаи. Такие, как с задачей нынешнего конкурса ММ266, где авторское решение было неверным. Здесь виной всему моя невнимательность. Это не есть хорошо, но и не страшно. Речь о другом. Об поощряемых аналогах и обобщениях. Сравните: над базовой задачей я могу работать хоть месяц, хоть год. А сквозь обобщения, которые по определению сложнее и которых может быть много в совершенно разных направлениях, надо продраться порой за несколько часов. Ведь "ложка дорога к обеду" и вряд ли конкурсантам будет интересно узнать, какие баллы были начислены их конкурентам за задачу, которую они решали в позапрошлом году. Ситуация усугубляется вполне здоровой конкуренцией между участниками (на то и соревнование, чтобы стремиться к победе). Но победить, решая только базовые задачи, невозможно. Поэтому честолюбивые конкурсанты и присылают мне трактаты по 70 страниц (это не гипербола, а констатация). Я, конечно, горжусь, но... не справляюсь.

На сегодняшний день я вижу два выхода из сложившейся ситуации:
1. Завершить Марафон.
Возможно, это лучший выход. Но как-то жалко. За последние 20 лет он стал мне родным.
2. Поменять правила.
Наказывать "заплывших за буйки", я конечно не буду. Но и поощрять их - себе дороже.
Однако, обратной стороной медали может быть потеря интереса к соревнованию...

А что думаете по этому поводу вы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение23.05.2021, 19:30 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
Завершен XXVII конкурс в рамках Математического марафона.

Уверенную победу одержал Мераб Левиашвили. В тройку призеров вошли также Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов.

Мои поздравления победителю, призерам и их достойным конкурентам!

Итоговое положение участников в XXVI конкурса в рамках Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 261 & 262 & 263 & 264 & 265 & 266 & 267 & 268 & 269 & 270 & \Sigma \\ 
\hline & \textit{Номинал задачи} & \textit{4} & \textit{3} & \textit{4} & \textit{4} & \textit{5} & \textit{7} & \textit{7} & \textit{9} & \textit{11} & \textit{16} & \textit{70} \\
\hline 1.& Мераб Левиашвили  & 6 & 3 & 6 & 5 & 8 & 9 & 9 & 12 & 16 & 18 & 92 \\ 
\hline 2.& Анатолий Казмерчук  & 5 & 4 & 5 & 4 & 7 & 10 & 9 & 11 & 13 & 16 & 84  \\ 
\hline 3.& Олег Полубасов & 6 & 3 & 4 & 5 & 8 & 7 & 7 & 9 & 18 & 16 & 83 \\ 
\hline 4.& Александр Романов & 4 & 3 & 4 & 4 & 5 & 8 & 7 & 9 & 11 & 16 & 71 \\ 
\hline 5.& Константин Шамсутдинов & 4 & 3 & 4 & 3 & 5 & 8 & 7 & 9 & 13 & 10 & 66 \\ 
\hline 6.& Виктор Филимоненков & 4 & 3 & 4 & 2 & 5 & 8 & 7 & 9 & 11 & 10 & 63 \\ 
\hline 7.& Денис Овчинников & 5 & 3 & 4 & 4 & 5 & 8 & 7 & 9 & 6 & 8 & 59 \\
\hline 9.& Василий Дзюбенко & 4 & 3 & 4 & 4 & 6 & 8 & 7 & 9 & 11 & - & 56 \\
\hline 6.& Владислав Франк & 4 & 3 & 4 & 4 & 5 & 8 & 7 & 10  & - & - & 45 \\
\hline 10.& Владимир Дорофеев & 3 & - & 4 & 2 & 5 & 7 & 7 & 9 & - & - & 37 \\
\hline 11.& Михаил Ватник & - & - & - & - & - & - & - & 9 & - & - & 9 \\
\hline 12.& Валентина Колыбасова & 4 & - & - & - & - & - & - & - & - & - & 4 \\
\hline \end{tabular}

XXVII марафонский конкурс ознаменовался несколькими событиями:
Виктор Филимоненков, а следом за ним и Олег Полубасов перешагнули рубеж 1000 баллов.
А затем они же совершили рокировку в сводной таблице.
В топ 10 ворвался Константин Шамсутдинов. На подступах еще несколько участников.

А вот как после завершившегося конкурса выглядит топ 25 Марафона.

Положение лидирующей группы после 27-го конкурса Марафона
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|c|}
\hline
Участники \ \    Туры$\to$    &1-13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&\Sigma\\
\hline
1. А.Казмерчук &363&54&53&51&73&79&69&82&85&79&85&81&80&84&1318\\
\hline
2. О.Полубасов &268&-&64&56&83&97&73&79&87&80&-&-&52&83&1032\\
\hline
3. В.Филимоненков &316&48&55&46&71&53&62&23&36&53&71&67&64&63&1027\\
\hline
4. В.Франк &411&-&-&-&-&-&-&-&69&37&52&62&72&45&748\\
\hline
5. С.Половинкин &201&56&58&41&74&60&63&36&2&-&-&-&-&-&591\\
\hline
6. А.Волошин &245&52&54&50&76&3&-&-&-&-&-&-&-&-&480\\
\hline
7. Н.Дерюгин &141&19&43&18&54&21&4&-&-&-&-&-&-&-&300\\
\hline
8. Д.Пашуткин &105&43&24&3&-&45&54&-&25&-&-&-&-&-&293\\
\hline
9. К.Шамсутдинов &-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&49&77&71&66&263\\
\hline
10. E.Гужавин &38&9&9&21&34&17&-&18&-&39&38&-&-&-&223\\
\hline
11. В. Колыбасова &-&-&-&-&-&10&57&17&-&54&40&27&-&4&209\\
\hline
12. В.Дорофеев &-&-&-&-&-&9&21&10&18&36&18&28&7&37&184\\
\hline
13. М.Левиашвили &-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&77&-&92&169\\
\hline
14. В.Дзюбенко &-&-&-&-&-&-&-&34&25&2&17&-&9&56&87\\
\hline
15. А.Халявин &72&43&-&-&-&14&-&-&-&-&-&-&-&-&129\\
\hline
16. Д.Овчинников &-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&68&59&127\\
\hline
17. А.Богданов &112&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&112\\
\hline
18. К.Веденский &65&20&-&-&23&-&-&-&-&-&-&-&-&-&108\\
\hline
19. А.Никонов &-&-&-&-&-&38&40&2&9&-&-&15&-&-&104\\
\hline
20. А.Извалов &46&-&-&-&34&-&-&15&-&-&-&-&-&-&95\\
\hline
21. В.Чубанов &-&-&-&-&-&-&-&-&35&-&58&-&-&-&93\\
\hline
22. И.Козначеев &88&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&88\\
\hline
23. К.Кноп &75&-&-&-&-&-&10&-&-&-&-&-&-&-&85\\
\hline
24. Б.Бух &81&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&81\\
\hline
25. М.Алексеев &80&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&80\\
\hline
\end{tabular}

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 11:22 
Аватара пользователя


08/12/11
110
СПб
Не правила управляют ведущим, а ведущий – правилами. Если ведущему не нравится читать многостраничные пространно написанные изыскания, он имеет все возможности так изменить правила, чтобы ему не приходилось этого делать.
Кто защищал диссертацию, знает, что объём автореферата строго регламентирован. Контролировать число страниц марафонского ответа труднее, потому что оно зависит от используемого шрифта. Да и если конкурсанты начнут экономить на рисунках, то понятнее их ответы точно не станут. Тем не менее придумать разумный способ ограничения объёма ответа можно.
Ведущий может установить такие правила, чтобы ему было приятно формулировать задачи и читать ответы, чтобы это не было рутинной обязанностью. А конкурсанты голосуют за новые правила руками или ногами.
Если ведущий желает видеть обобщение задачи не в любом направлении, а в конкретном, то он может указать это направление. Например: «За решение задачи для m = 3 и m = 4 – 11 баллов, за обобщение на произвольное m – +7 баллов, за обобщение на многомерные пространства – +2 балла».

Поздравление победителю! Мераб, ура! Привет участникам!

P.S: Ведущему стоит проверить правильность стартовой цены задачи ММ270, указанной в разборе (16, а не 12), и правильность сумм в результирующей таблице этапа (92, а не 98).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 16:38 


15/05/13
295
Прежде всего хочу поблагодарить Ведущего за отличный очередной тур и в целом за марафон! Ровно 15 лет назад я завел себе интернет, а через неделю стартовал шестой, кажется, тур марафона - и с тех пор он является существенной частью моего интеллектуального досуга. Совсем бы не хотелось его завершения.
Радует, что вроде в этот раз я нигде не допустил "зевок", хотя две задачки решил не до конца: в задаче 264 не сумел "руками" найти хотя бы одну аддитивную тройку (программированием я не владею), а в 270 мне было очевидно, что построение в общем случае многогранников больших классов с максимальным количеством вершин потребует от меня слишком много времени, и я не стал в это впрягаться.
Что касается "выплывания за буйки", то мне с самого начала было несколько странна идея конкурса, в которой игроки сами придумывают задачи (обобщения заданной задачи), за которые их будут оценивать. Поэтому лично я почти никогда не решаю "сверхзадачи", мне в марафоне интересно справиться с предложенными задачами и, по возможности, описать свои решения удобочитаемым текстом (в котором бы я сам мог легко разобраться через некоторое время). Так что, с этой точки зрения я, надеюсь, являюсь образцовым участником для Ведущего. :D Конечно, этот принцип игры лишает меня "бонусных" баллов (лишний балл по сравнению с номиналом в задаче 266 - полностью на совести Ведущего!), а, как следствие, "призовых" мест, но свою долю удовольствия я все равно получаю, а корова меня не очень интересует. Хотя, конечно, иногда хочется и посоревноваться, раз уж это конкурс.
Поэтому для меня решение очевидно - оценивать баллами стоит только решение изначально предложенной задачи, по цене не выше номинала. В этом случае интерес к соревнованию с моей стороны только возрастет - я, по крайней мере, буду уверен, во что мы соревнуемся. Что касается дополнительных вопросов по теме задачи - их же можно обсуждать и в частном порядке после опубликования результатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 18:56 
Заслуженный участник


23/07/08
9198
Харьков
VAL в сообщении #1519730 писал(а):
А что думаете по этому поводу вы?
Добрый день!
Хоть я не участник, позвольте мне высказать предложение.
1) В рамках Марафона обобщения никак специально не поощряются. Если обобщение задачи было необходимо для её решения (иногда решать в более общей постановке проще!), оно оценивается как обычное решение.
2) А рядом с Марафоном открывается неформальный конкурс (или просто тема) «Выше Марафона». Тут Вы и публикуете эти обобщения. Народ их обсуждает, сравнивает, восхищается, но никаких баллов тут не начисляют.
Лично мне, если бы я был участником, этого было бы достаточно. Даже если в теме не будет ни одного комментария, я всё равно буду знать, что моё восхитительное решение прочитали и оценили по достоинству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 19:12 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
Masik в сообщении #1519793 писал(а):
P.S: Ведущему стоит проверить правильность стартовой цены задачи ММ270, указанной в разборе (16, а не 12), и правильность сумм в результирующей таблице этапа (92, а не 98).

Спасибо! Поправил.

Что касается предложений "дальнейшему усовершенствованию в свете последних решений...", посмотрим как выскажутся остальные. Они, слава Богу, понемногу подтягиваются, а то я уже полагал, что общественность молчаливо проголосовала за первый пункт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 22:31 


21/05/16
4170
Аделаида
Я частично соглашусь с Masik и svv: мне нравится идея, чтобы ведущий заранее предлагал в условии задачи несколько обобщений и баллы за них, а все другие обобщения могут публиковать марафонцы отдельно (в своих решениях/этой теме/другой теме), но не за баллы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.05.2021, 23:44 


09/01/07
4
Москва
Можно, например, "наказывать" тех, кто больше всех пишет, тем, чтобы они помогали проверять работы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение25.05.2021, 00:01 
Заслуженный участник


27/06/08
3561
Волгоград
kosshams в сообщении #1519915 писал(а):
Можно, например, "наказывать" тех, кто больше всех пишет, тем, чтобы они помогали проверять работы.
Опоздали с предложением. Я уже частично применил эту методику :-)

-- 25 май 2021, 00:03 --

Masik в сообщении #1519793 писал(а):
Если ведущий желает видеть обобщение задачи не в любом направлении, а в конкретном, то он может указать это направление. Например: «За решение задачи для m = 3 и m = 4 – 11 баллов, за обобщение на произвольное m – +7 баллов, за обобщение на многомерные пространства – +2 балла».

Интереснее всего видеть обобщение в направлении, которое не приходило тебе самому в голову.
Это видеть. А вот проверять... :-)

-- 25 май 2021, 00:04 --

fiviol в сообщении #1519829 писал(а):
Так что, с этой точки зрения я, надеюсь, являюсь образцовым участником для Ведущего. :D

Напрашиваетесь на второй многогранник? :D

-- 25 май 2021, 00:07 --

svv в сообщении #1519840 писал(а):
1) В рамках Марафона обобщения никак специально не поощряются. Если обобщение задачи было необходимо для её решения (иногда решать в более общей постановке проще!), оно оценивается как обычное решение.
2) А рядом с Марафоном открывается неформальный конкурс (или просто тема) «Выше Марафона». Тут Вы и публикуете эти обобщения. Народ их обсуждает, сравнивает, восхищается, но никаких баллов тут не начисляют.

Примерно в эту сторону общественная мысль и склоняется.
По крайней мере, пока.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 838 ]  На страницу Пред.  1 ... 52, 53, 54, 55, 56  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group