Сферический конденсатор с двумя прослойками

[ZarinaM]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Имеется сферический конденсатор, внутренний радиус которого $R_1$, а внешний $R_2$, дано напряжение между обкладками $U$. Между обкладками находятся две концентрические прослойки удельной проводимости $\sigma_1$ и $\sigma_2$, границы которых соприкасаются со сферой радиуса $r$, где $R_1 < r < R_2$. Нужно найти силу тока и сопротивление между обкладками.

Понятно, что надо считать

$$U = \int E_r dr$$

и

$$I = \int j dS$$

, которое потом выразится через $U$ и где $j$ - плотность тока, но не совсем понятно, как это корректно записать в случае с двумя прослойками. По идее эти формулы в таком случае разбиваются на два интеграла.

Заранее спасибо.

[fred1996]

ZarinaM
У вас есть по крайней мере две возможности все честно посчитать.
1. Вы выразили ток как интеграл от плотности тока. Но ток ведь у вас постоянен через любую концентрическую сферу. Значит плотность тока есть только функция радиуса сферы, через которую протекает этот ток. Далее записываете закон ома в дифференциальной форме (там присутствует плотность тока, напряжённость поля и проводимость. Так что вам остаётся просто проинтегрировать напряжённость по радиусу.
Это чисто физический подход.
2. А есть формальный математический. Вы разбиваете вашу сферу на тонкие концентрические сферы и считаете сопротивление последовательного соединения этих тонких сферических оболочек. Этот подход может неочевиден. Но решив несколько похожих задач на ток при сферической симметрии, вы не будете каждый раз заморачиваться первым подходом, а сразу будете считьать общее "радиальное сопротивление".

[мат-ламер]

fred1996 в сообщении #1519525 писал(а):

У вас есть по крайней мере две возможности все честно посчитать.

Попробую подсчитать нечестно и сравнить с результатом топик-стартера. Буду считать, что задача одномерна. На прямой между точками с координатами $r$ и $R$ находится резистор, сопротивление которого в точке $x$ равно $r(x)=C_i/x^2$ , где $C_1$, $C_2$ - две константы (своя для каждого слоя). Общее сопротивление резистора равно интегралу от $r(x)$ .

[fred1996]

мат-ламер
Чувствуется математик.
Сопротивления "в точке" не бывает.
Есть формула для сопротивления проводника: $R=\rho\frac{r}{S}$
А то что вы написали, можно было бы обозвать "линейной плотностью сопротивления" $\frac{dR}{dr}$
Но ход мысли в принципе верный.

[svv]

Известна любопытная связь между двумя разными задачами:
1) Две проводящие поверхности хитрой формы в вакууме образуют конденсатор. Найти его ёмкость $C$.
2) Те же две поверхности находятся в однородной среде с проводимостью $\sigma$. Найти сопротивление $R$ между ними.
Несложно доказывается, что $4\pi\sigma RC=1$ (в СГС).

(hint)

$I=\oint \mathbf j\cdot d\mathbf S=\sigma\oint \mathbf E\cdot d\mathbf S=4\pi\sigma Q$
Ключевой момент — в обеих задачах при равных напряжениях $U$ между поверхностями (каждая из них эквипотенциальна) возникает одно и то же электрическое поле.

Значит, известная формула для ёмкости сферического конденсатора немедленно даёт формулу для сопротивления однородной проводящей среды между его обкладками.

[sergey zhukov]

svv
Интересно. В самом деле:
$R=\frac{u}{i}$

$C=\frac{q}{u}$

$RC=\frac{q}{i}$

$q=\frac{1}{4\pi}\int\limits_{}^{}E\cdot n \partial s$

$i=\int\limits_{}^{}j\cdot n \partial s = \int\limits_{}^{} \sigma E\cdot n \partial s = \sigma \int\limits_{}^{}E\cdot n \partial s$

$RC=\frac{1}{4\pi \sigma}$

Задачи нахождения емкости и сопротивления между обкладками конденсатора получаются почти идентичными, т.к. в обоих случаях поле потенциала $\varphi$ одно и то же, а поля векторов $E$ и $j$ - это градиент этого потенциала, т.е. они совпадают с точностью до $\sigma$.

[svv]

Да, Вы правы. Это, так сказать, фольклор, в книгах этот факт не встречал, возможно, просто плохо смотрел.

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Когда еще не было компьютеров и даже, я бы сказал, ЭВМ существовал метод моделирования электростатических полей в электролитических ваннах основанный на этом всем.
Сейчас это не актуально, конечно. Я посмотрел, в интернете есть описания лабораторных работ, видимо выживших с тех давних времен

[ZarinaM]

Большое спасибо!
Стало понятнее.