Функциональный интеграл от модуля полинома

[besagar]

Друзья, здравствуйте!

Столкнулся с некой вычислительной сложностью. Может, кто-то умеет такое считать.

Посмотрим на простой гауссов интеграл по какому-то случайному полю ${\displaystyle \Psi (\mathbf{r} )}$:

$N=\int D\Psi ^{*} D\Psi \ \exp\left( -\int d^{n} r\ \Psi ^{*}\hat{K} \Psi \right)$

Здесь $\hat{K}$ - какой-то дифференциальный оператор. Теперь я хочу вычислить среднюю ≪интенсивность≫ поля в ${\displaystyle \mathbf{r} =\mathbf{y}}$. So:

$\langle \Psi ^{*} (\mathbf{y} )\Psi (\mathbf{y} )\rangle =\dfrac{1}{N}\int D\Psi ^{*} D\Psi \ \Psi ^{*} (\mathbf{y} )\Psi (\mathbf{y} )\ \exp\left( -\int d^{n} r\ \Psi ^{*}\hat{K} \Psi \right)$

Это простой гауссов интеграл, берется введением источников:

$\langle \Psi ^{*} (\mathbf{y} )\Psi (\mathbf{y} )\rangle =\dfrac{1}{N} \partial _{\lambda } \partial _{\eta }\int D\Psi ^{*} D\Psi \ \exp\left( -\int d^{n} r\ \Psi ^{*}\hat{K} \Psi +\eta \Psi ^{*} (\mathbf{y} )+\lambda \Psi (\mathbf{y} )\right)\biggl|_{\lambda ,\eta =0} =\\ =\partial _{\lambda } \partial _{\eta }\exp\left(\int d^{n} r\int d^{n} r'\ \eta \delta (\mathbf{r} -\mathbf{y} )\hat{K}^{-1} (\mathbf{r} ,\mathbf{r} ')\lambda \delta (\mathbf{r} '-\mathbf{y} )\right)\biggl|_{\lambda ,\eta =0} =\hat{K}^{-1} (\mathbf{y} ,\mathbf{y} )$

Подобное вычисление можно сделать для любого полинома $\displaystyle P\left( \Psi ^{*} ,\Psi \right)$, не только для $\Psi ^{*} (\mathbf{y} )\Psi (\mathbf{y} )$. Тем не менее, если я захочу вычислить среднее от модуля полинома, например что-то в духе

$\dfrac{1}{N}\int D\Psi ^{*} D\Psi \ |\Psi ^{*} (\mathbf{y} )\Psi (\mathbf{x} )-\Psi ^{*} (\mathbf{x} )\Psi (\mathbf{y} )|\ \exp\left( -\int d^{n} r\ \Psi ^{*}\hat{K} \Psi \right)$

то фокус с источниками не пройдет, потому что модуль как производную от линейных источников не получишь.

Собственно, вопрос: как можно брать такие интегралы с модулями?

Заранее большое спасибо всем!

[Alex-Yu]

besagar в сообщении #1519632 писал(а):

Собственно, вопрос: как можно брать такие интегралы с модулями?

Никак. Во всяком случае аналитически. А это вам зачем? Я что-то не могу придумать задачу, где бы такое понадобилось. Вот модуль функционального детерминанта под конт. интегралом бывает (якобиан). Что-то такое упоминали Паризи и Сурл в одной из своих статей (в Nuclear Physics если не ошибаюсь) и давали ссылки на то, что, мол, есть специальная изощренная техника для этого. Но там специфическая задача, вряд ли это общий метод для модулей под интегралом.

[besagar]

Alex-Yu в сообщении #1519673 писал(а):

А это вам зачем? Вот модуль функционального детерминанта под конт. интегралом бывает (якобиан).

Ну в моем случае это и есть более-менее детерминант. Задача такая: я хочу для поля $\Psi$ найти функцию распределения её нуля в плоскости. И ищу, его, соответственно, как среднее от $\delta$-функции. Если положить $\Psi=\Psi'+i\Psi''$, то что-то в духе

$P(\mathbf{y}|\Psi(\mathbf{y})=0)=\langle{\delta(\mathbf{Y}-\mathbf{y})}\rangle_{\mathbf{Y}}=\langle{|J| \delta(\Psi'(\mathbf{y}))\delta(\Psi''(\mathbf{y}))}\rangle_{\Psi}=N \int \mathcal{D}\Psi' \mathcal{D}\Psi'' e^{-S} |J| \delta(\Psi'(\mathbf{y}))\delta(\Psi''(\mathbf{y}))$

Здесь $J = \partial_1\Psi' (\mathbf{y})\partial_2 \Psi''(\mathbf{y})-\partial_2\Psi'(\mathbf{y}) \partial_1 \Psi''(\mathbf{y})$ и $S$ - квадратичное по полям действие. А тот факт, что это определитель, а не просто полином, может как-то упростить дело?

[Alex-Yu]

besagar в сообщении #1519705 писал(а):

А тот факт, что это определитель, а не просто полином, может как-то упростить дело?

Во-первых, это не тот детерминант. Я (точнее указанные авторы) говорил про функциональный детерминант. Во-вторых я все же не понимаю, что вы ищите, что за "функция распределения её нуля"? И с чего это она равна среднему от дельта-функции еще и с якобианом? Может, если более ясно сформулировать, то и не понадобятся столь кошмарные объекты, которые бог знает, как вычислять? Для начала, я бы не писал комплексное поле. Обычно, при квадратичном действии для комплексного поля это действие распадается на сумму действия от действительной части и от комплексной. При этом континуальный интеграл распадается на произведение двух более простых интегралов. Впрочем, для этого действие комплексного поля должно иметь специальный вид. Но обычно именно такой вид и есть: действительная и мнимая части статистически независимы.

И еще. Якобиан связан с заменой переменной. Какая замена тут подразумевается? И что означаю индексы 1 и 2 у производной?