2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Kiev 1957.
Сообщение21.05.2021, 13:01 


01/08/19
95
Prove inequality $$\sqrt {a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}+\sqrt {b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2}\geq \sqrt{(a_{1}^2+b_{1}^2)^2+(a_{2}^2+b_{2}^2)^2+...+(a_{n}^2+b_{n}^2)^2}$$
for all real numbers $a_{i},b_{i}, i=1,2,...,n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение21.05.2021, 13:29 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
rsoldo в сообщении #1519400 писал(а):
Prove inequality $$\sqrt {a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}+\sqrt {b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2}\geq \sqrt{(a_{1}^2+b_{1}^2)^2+(a_{2}^2+b_{2}^2)^2+...+(a_{n}^2+b_{n}^2)^2}$$
for all real numbers $a_{i},b_{i}, i=1,2,...,n$.

Это неверно. Есть проблема с размерностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение21.05.2021, 20:25 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
rsoldo в сообщении #1519400 писал(а):
Prove inequality
Your inequality is wrong. Here is a counterexample: $n=2; a_1=4, a_2=5, b_1=3, b_2=6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение22.05.2021, 00:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Заглянул в сборник, исправляю:
Доказать неравенство$$\sqrt {a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}+\sqrt {b_1^2+b_2^2+...+b_n^2}\geqslant \sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2+...+(a_n+b_n)^2}\;,$$где $a_i,b_i (i=1,2,\ldots,n)$ — произвольные действительные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение22.05.2021, 03:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Тем более непонятно, что здесь доказывать. Оно, как бы, медицинский факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение22.05.2021, 11:16 


02/04/18
240
nnosipov в сообщении #1519497 писал(а):
Тем более непонятно, что здесь доказывать.

Так 57-й же. Тогда и на IMO задачи были, которые сейчас как орешки щелкают...

Собственно:

This inequality is equivalent to:
$\sum\limits_{1\le{i}<j\le{n}}^{}(a_ib_j-a_jb_i)^2\ge0$
That's it.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение22.05.2021, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
nnosipov в сообщении #1519497 писал(а):
Тем более непонятно, что здесь доказывать. Оно, как бы, медицинский факт.

То, что факт, ясно. Но не аксиома же. В университете, понятно, можно сослаться на то, что пространство $R^n$ является нормированным. Выполнение аксиомы треугольника вытекает из неравенства Коши-Буняковского, считая, что пространство $R^n$ евклидово. А если я школьник, то мне никаких идей кроме последовательного возведения в квадрат не приходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Kiev 1957.
Сообщение22.05.2021, 11:54 


21/05/16
4292
Аделаида
Dendr в сообщении #1519528 писал(а):
Так 57-й же. Тогда и на IMO задачи были, которые сейчас как орешки щелкают...

Особенно если учитывать то, что первая IMO была проведена в пятьдесят девятом :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group