Kiev 1957.

[rsoldo]

Prove inequality

$$\sqrt {a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}+\sqrt {b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2}\geq \sqrt{(a_{1}^2+b_{1}^2)^2+(a_{2}^2+b_{2}^2)^2+...+(a_{n}^2+b_{n}^2)^2}$$

for all real numbers $a_{i},b_{i}, i=1,2,...,n$.

[arqady]

rsoldo в сообщении #1519400 писал(а):

Prove inequality

$$\sqrt {a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}+\sqrt {b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{n}^2}\geq \sqrt{(a_{1}^2+b_{1}^2)^2+(a_{2}^2+b_{2}^2)^2+...+(a_{n}^2+b_{n}^2)^2}$$

for all real numbers $a_{i},b_{i}, i=1,2,...,n$.

Это неверно. Есть проблема с размерностью.

[Gagarin1968]

rsoldo в сообщении #1519400 писал(а):

Prove inequality

Your inequality is wrong. Here is a counterexample: $n=2; a_1=4, a_2=5, b_1=3, b_2=6$

[svv]

Заглянул в сборник, исправляю:
Доказать неравенство

$$\sqrt {a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}+\sqrt {b_1^2+b_2^2+...+b_n^2}\geqslant \sqrt{(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2+...+(a_n+b_n)^2}\;,$$

где $a_i,b_i (i=1,2,\ldots,n)$ — произвольные действительные числа.

[nnosipov]

Тем более непонятно, что здесь доказывать. Оно, как бы, медицинский факт.

[Dendr]

nnosipov в сообщении #1519497 писал(а):

Тем более непонятно, что здесь доказывать.

Так 57-й же. Тогда и на IMO задачи были, которые сейчас как орешки щелкают...

Собственно:

This inequality is equivalent to:
$\sum\limits_{1\le{i}<j\le{n}}^{}(a_ib_j-a_jb_i)^2\ge0$
That's it.

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #1519497 писал(а):

Тем более непонятно, что здесь доказывать. Оно, как бы, медицинский факт.

То, что факт, ясно. Но не аксиома же. В университете, понятно, можно сослаться на то, что пространство $R^n$ является нормированным. Выполнение аксиомы треугольника вытекает из неравенства Коши-Буняковского, считая, что пространство $R^n$ евклидово. А если я школьник, то мне никаких идей кроме последовательного возведения в квадрат не приходит.

[kotenok gav]

Dendr в сообщении #1519528 писал(а):

Так 57-й же. Тогда и на IMO задачи были, которые сейчас как орешки щелкают...

Особенно если учитывать то, что первая IMO была проведена в пятьдесят девятом