Скрещивающиеся плоскости в аффинном пространстве

[Maxim Shasherin]

Задача из книги "Курс алгебры" Э. Б. Винберга.
7.1.1.
Какова наименьшая размерность пространства, в котором существуют двумерные скрещивающиеся плоскости?
Мои идеи.
Так как мы ищем наименьшее возможное значение размерности, рассмотрим случай, когда этих плоскостей две.
Пусть $ P_1, P_2$ - плоскости. $P_1=p_1+U_1, P_2=p_2+U_2. $
Определение скрещивающихся плоскостей состоит из двух условий:
1)Пересечение плоскостей пусто
2)Их направляющие подпространства пересекаются только по нулевому вектору.
Из второго условия сразу следует, что $\dim V\neq 1, 2, 3$ ($V$ - это векторное пространство, с которым ассоциировано данное аффинное пространство). Следует потому, что базисы подпространств не пересекаются, значит, четыре базисных вектора в $V$ уже есть.
Только ли четыре их там - вот в чём вопрос.
И вот тут просьба не кидать тапками, если уж слишком тупая идея. Но дальше я думал вот что.
Предположим сначала, что пространство четырёхмерное.
Точки плоскости - это решения некой системы линейных уравнений. Координаты векторов направляющего подпространства плоскости - это решения однородной системы линейных уравнений с той же матрицей коэффициентов. Что, если рассмотрим систему, состоящую из всех уравнений систем, задающих направляющие подпространства этих плоскостей? Каждая из этих систем с четырьмя неизвестными и двумя уравнениями, так как плоскости двумерные, а пространство, как мы предположили, четырёхмерное, значит, ранг каждой матрицы равен двум. Тогда общая система будет четыре на четыре. Её решения - координаты векторов пересечения подпространств (верно ли это?) Она должна иметь только нулевое решение, исходя из второго условия. Значит, её определитель должен быть ненулевым. Теперь рассмотрим то же самое, но уже для самих плоскостей. Я думал, что её решения - элементы пересечения плоскостей, но не был уверен, что это верно. Матрица та же, её определитель ненулевой. А это значит, что у системы существует единственное решение. Мы получили противоречие с первым условием в определении скрещивающихся плоскостей.
Теперь, что, если размерность пять...
Наверное, можно сделать то же самое с системами, они уже будут пять на три. Но, например, если $p_1=p_2=o$ (начало отсчёта в репере аффинного пространства),
то для плоскостей тоже однородные системы. И из-за этого моя идея разваливается, и надо придумать другую.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Пусть $(e_1,e_2)$ и $(e_3,e_4)$ — базисы в направляющих подпространствах первой и второй плоскости, соответственно. Так как направляющие пространства пересекаются только по нулевому вектору, набор $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ линейно независим. В $\mathbb R^4$ он будет базисом. В пространстве большей размерности дополним этот набор до базиса $(e_1,\ldots,e_n)$.

Зададим плоскости параметрически:
$p=p_1+a_1e_1+a_2e_2$
$p=p_2+a_3e_3+a_4e_4$

Пересекаются ли эти плоскости? Это зависит от того, разрешимо ли уравнение
$p_1+a_1e_1+a_2e_2=p_2+a_3e_3+a_4e_4$, или, равносильно,
$a_1e_1+a_2e_2-a_3e_3-a_4e_4=p_2-p_1$,
относительно коэффициентов $a_1,a_2,a_3,a_4$.

Вопрос сводится к тому, лежит ли вектор $p_2-p_1$ в линейной оболочке векторов $(e_1,e_2,e_3,e_4)$, иначе — представим ли он в виде их линейной комбинации.
Опишите ситуацию в $\mathbb R^4$ и в $\mathbb R^5$, считая, что координаты $p_2-p_1$ в базисе $(e_1,\ldots,e_n)$ известны.

-- Чт май 20, 2021 20:09:38 --

Maxim Shasherin в сообщении #1519070 писал(а):

если $p_1=p_2=o$ (начало отсчёта в репере аффинного пространства), то для плоскостей тоже однородные системы

Брать $p_1=p_2$ нельзя, тогда плоскости заведомо будут пересекаться (нарушение 1 условия), так как обе проходят через точку $p_1=p_2$.

[Maxim Shasherin]

Здравствуйте) Если $dim V = 4$, то получается вот что: так как $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ - базис, вектор $p_1p_2$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации $(e_1,e_2,e_3,e_4)$, а это равносильно пересечению плоскостей. Противоречие с первой аксиомой скрещивающихся плоскостей.
(?)

[svv]

Совершенно верно.
А какая ситуация в $\mathbb R^5$ ? Считайте, что координаты $p_2-p_1$ в базисе $(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)$ известны (обозначьте их как хотите).

[Maxim Shasherin]

Вектор $p_1p_2=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4+a_5e_5$ не лежит в пересечении плоскостей, если $a_5\neq0$.

[svv]

Точно.
Обратите внимание, что первые четыре координаты не имеют никакого значения. Изменение $a_1,a_2$ можно интерпретировать как сдвиг $p_1$ (начало вектора $p_1p_2$) по первой плоскости. А изменение $a_3,a_4$ — как сдвиг $p_2$ (конец вектора $p_1p_2$) по второй плоскости. Сами плоскости при этом не изменяются.

Ну, а $p_2-p_1=e_5$ уже запросто можно обеспечить, например, $p_1=0, p_2=e_5$, что даст 2-плоскости
$p=a_1e_1+a_2e_2$
$p=a_3e_3+a_4e_4+e_5$.
И они действительно не пересекаются, потому что пятая координата у одной равна $0$, у другой $1$.