Задача из книги "Курс алгебры" Э. Б. Винберга.
7.1.1.
Какова наименьшая размерность пространства, в котором существуют двумерные скрещивающиеся плоскости?
Мои идеи.
Так как мы ищем наименьшее возможное значение размерности, рассмотрим случай, когда этих плоскостей две.
Пусть
- плоскости.
Определение скрещивающихся плоскостей состоит из двух условий:
1)Пересечение плоскостей пусто
2)Их направляющие подпространства пересекаются только по нулевому вектору.
Из второго условия сразу следует, что
(
- это векторное пространство, с которым ассоциировано данное аффинное пространство). Следует потому, что базисы подпространств не пересекаются, значит, четыре базисных вектора в
уже есть.
Только ли четыре их там - вот в чём вопрос.
И вот тут просьба не кидать тапками, если уж слишком тупая идея. Но дальше я думал вот что.
Предположим сначала, что пространство четырёхмерное.
Точки плоскости - это решения некой системы линейных уравнений. Координаты векторов направляющего подпространства плоскости - это решения однородной системы линейных уравнений с той же матрицей коэффициентов. Что, если рассмотрим систему, состоящую из всех уравнений систем, задающих направляющие подпространства этих плоскостей? Каждая из этих систем с четырьмя неизвестными и двумя уравнениями, так как плоскости двумерные, а пространство, как мы предположили, четырёхмерное, значит, ранг каждой матрицы равен двум. Тогда общая система будет четыре на четыре. Её решения - координаты векторов пересечения подпространств (верно ли это?) Она должна иметь только нулевое решение, исходя из второго условия. Значит, её определитель должен быть ненулевым. Теперь рассмотрим то же самое, но уже для самих плоскостей. Я думал, что её решения - элементы пересечения плоскостей, но не был уверен, что это верно. Матрица та же, её определитель ненулевой. А это значит, что у системы существует единственное решение. Мы получили противоречие с первым условием в определении скрещивающихся плоскостей.
Теперь, что, если размерность пять...
Наверное, можно сделать то же самое с системами, они уже будут пять на три. Но, например, если
(начало отсчёта в репере аффинного пространства),
то для плоскостей тоже однородные системы. И из-за этого моя идея разваливается, и надо придумать другую.