Существует ли оператор?

[toofack]

Всем привет, решал такую задачу: Приведите пример или докажите, что его не существует $\varphi : R^4 \to R^4$ такой что $\operatorname{Im} \varphi = \ker\varphi$
Решение:
Пусть $\operatorname{Im}\varphi =\left\langle(1 0 1 0)^T, (0 1 0 1)^T\right\rangle$. Пусть векторы из $\operatorname{Im}$ будут первыми векторами - столбцами в матрице линейного оператора $ A$. По условию ядро и образ должны порождать одни и те же вектора, следовательно вектора, лежащие в $\operatorname{Im}$ должны быть и в $\ker$, но при этом
$A(\lambda_1(1 0 1 0)^T + \lambda_2(0 1 0 1)^T) = 0$ ($A $- матрица линейного оператора). Следовательно $\lambda_1(1 0 1 0)^T + \lambda_2(0 1 0 1)^T + \lambda_1A_3 + \lambda_2A_4 = 0$
(где $A_i$ - $i$-ий столбец в $ A$). Отсюда матрица $A =\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & -1\\1 & 0 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- придумайте для темы сколько-нибудь информативный заголовок, сообщающий, о чем в ней идет речь;
- допишите условие, в нем явно не хватает слов;
- наберите правильно формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), в частности, не разрывайте их на части и не используйте звездочку там, где она неуместна.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Ну, отлично, Вы привели пример такого оператора.
Пусть $U=\operatorname{Im} \varphi =\operatorname{Ker}\varphi$. Как Вы поняли, что $\dim U=2$ ? Преподаватель, возможно, об этом спросит.

[мат-ламер]

По идее нужные нам операторы должны удовлетворять условию $A^2=0$ . Простейший пример такого оператора в $R^2$ будет оператор с жордановой матрицей второго порядка с нулевым собственным значением. Ну, а в $R^4$ матрицу этого оператора можно составить из двух жордановых матриц второго порядка с нулевым собственным значением. Ну, и можно взять любую матрицу подобную полученной.

[ewert]

Как-то всё слишком сложно. Сумма размерностей ядра и образа равна размерности пространства, поэтому обе размерности равны двум; объединение же этих базисов должно давать базис всего пространства. Или, что то же -- векторы полного базиса надо разбить на две группы и потребовать, чтобы первая группа базисных векторов переводилась во вторую, а вторая обращалась в ноль: $\varphi(e_1)=e_3,\ \ \varphi(e_2)=e_4,\ \ \varphi(e_3)=0,\ \ \varphi(e_4)=0$. И если в качестве исходного базиса взять канонический (почему бы и нет), то вот сразу и матрица этого оператора. И это решение будет общим в том смысле, что любая другая такая матрица получается из этой каким-либо преобразованием подобия.

[toofack]

ewert
Верно ли я понял, что в вашем примере матрица ЛО выглядит так: $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\1 &0 &0 & 0\\ 0&1&0&0 \end{bmatrix}$?

-- 17.05.2021, 09:49 --

мат-ламер
Можете пожалуйста пояснить почему нильпотенты подходят? Вроде да, они необратимы, но сходу я не могу въехать почему они удовлетворяет условию.

[nnosipov]

toofack
Произвольные операторы $\varphi$, для которых $\varphi^2=0$, не годятся, потому что для них $\mathop{\rm Im}{\varphi} \subset \mathop{\rm Ker}{\varphi}$ и равенство $\mathop{\rm Im}{\varphi}=\mathop{\rm Ker}{\varphi}$ не гарантировано. А вот специальные нильпотенты годятся.

[toofack]

nnosipov
Да, спасибо, толлько что на бумаге расписал и, вроде, понял, что некоторые нильпотенты с рангом 2 годятся

[мат-ламер]

Искомый оператор должен быть нильпотентом. Нам подходят нильпотенты (и только они), ЖНФ которых представляет две жордановых клетки размерности два. У таких операторов размерность ядра и образа равны двойке. Все примеры из этой ветки этому удовлетворяют.

[artempalkin]

ewert в сообщении #1518819 писал(а):

объединение же этих базисов должно давать базис всего пространства.

Это в смысле один из вариантов или это обязательное условие?

Я не вижу, почему объединение базисов ядра и образа в данном случае должны быть всем пространством (в общем случае-то, конечно, это вовсе не обязательно). Если можете, поясните, пожалуйста.

ewert в сообщении #1518819 писал(а):

должно давать базис

Слово ДОЛЖНО смущает :)

-- 17.05.2021, 12:45 --

Более того, если ядро равно образу, как объединение базисов будет давать все пространство?

[mihaild]

ewert в сообщении #1518819 писал(а):

Сумма размерностей ядра и образа равна размерности пространства, поэтому обе размерности равны двум; объединение же этих базисов должно давать базис всего пространства

С учетом того, что ядро совпадает с образом, и их размерность меньше размерности пространства, объединение их базисов базис пространства не даст (и вообще будет линейно зависимым).

[nnosipov]

Вот это:

ewert в сообщении #1518819 писал(а):

объединение же этих базисов должно давать базис всего пространства. Или, что то же --

просто лишнее, а так все ясно.

[svv]

Пусть $(e_1,e_2)$ базис ядра/образа $\varphi$. Оба вектора принадлежат образу $\Rightarrow$ существуют такие $e_3,e_4$, что $\varphi(e_3)=e_1, \varphi(e_4)=e_2$. Набор векторов $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ линейно независим, а значит, это базис $\mathbb R^4$. Доказательство: пусть
$a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3+a_4e_4=0$
Подействуем на обе части оператором $\varphi$, получим $a_3e_1+a_4e_2=0$. Так как $e_1, e_2$ линейно независимы, $a_3=a_4=0$, но тогда и $a_1=a_2=0$.

[artempalkin]

Можно эту задачу сформулировать интереснее, например:
"Чему равен след матрицы $A$, у которой $\operatorname{Im} A=\operatorname{Ker} A$?"