Сумма невырожденных матриц - вырожденная

[artempalkin]

Такая мне задачка пришла в голову... вполне возможно, что она как-то тривиально решается, но может быть и нет. По крайней мере с первой секунды и после проверки элементарных вариантов, решения не всплыло.

Назовем две квадратные матрицы $A$ и $B$ одного порядка над действительными (или, в другом случае, комплексными) числами взаимно независимыми, если они невырождены и не пропорциональны (т.е. нет такого $\alpha$, что $A=\alpha B$).

Можно ли утверждать, что для двух любых взаимно независимых матриц найдется нетривиальная линейная комбинация, которая будет вырожденной матрицей?

-- 12.05.2021, 12:04 --

Похоже, что в комплексном случае ответ "да".

Возьмем линейную комбинацию этих матриц и приравняем нулю определитель.

$|aA+bB|=0$

Слева будет стоять некоторый многочлен $n$-ной степени относительно $a$ и $b$. Если мы зададим некоторое значение, к примеру, $a$, то у нас получится многочлен $n$-ной степени относительно $b$, который имеет хотя бы один корень.

В действительном случае, эээ...

[svv]

Над действительными числами — нет. Пусть матрицы удовлетворяют Вашим условиям, $B=E$, и матрица $\mu A-\lambda B$ вырождена ($\mu,\lambda$ не равны нулю одновременно). Тогда $\mu\neq 0$, можно считать его единичным. А $\det(A-\lambda E)=0$ имеет действительное решение $\lambda$, только если $A$ имеет действительные значения.

[artempalkin]

svv
Перефразировав:

В действительном случае: возьмем действительную матрицу $A$ с только комплексными СЗ (то есть с ненулевой мнимой частью у всех СЗ). Тогда $|aA+bE|=a^n|A-\left(-\frac b a\right) E|\neq 0$, т.к. $\frac b a$ - действительно (ну и отдельно случай $a=0$ не подойдет).

[svv]

svv в сообщении #1518232 писал(а):

имеет действительные значения

собственные значения, ну, Вы поняли.

[artempalkin]

svv в сообщении #1518237 писал(а):

собственные значения, ну, Вы поняли.

Да, конечно, понял :)

Вот только один момент меня чуть смущает

artempalkin в сообщении #1518231 писал(а):

Если мы зададим некоторое значение, к примеру, $a$, то у нас получится многочлен $n$-ной степени относительно $b$, который имеет хотя бы один корень.

- это в комплексном случае.

А не может ли быть ситуации, что при любых значениях $a$, например, у нас будет получаться константный ненулевой многочлен, не зависящий от $b$? Ну то есть представить себе такого я не могу вроде, но с другой стороны как доказать, что это невозможно?

-- 12.05.2021, 12:31 --

Ага, получается, что в многочлене $|aA-bB|$ коэффициентом при $b^n$ будет вроде бы $|B|$, который не равен нулю, хорошо... а свободным членом (в многочлене относительно $b$) будет $|aA|$, который не равен нулю при не равных нулю значениях $a$. А значит будут ненулевые корни.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1518238 писал(а):

А не может ли быть ситуации, что при любых значениях $a$, например, у нас будет получаться константный ненулевой многочлен, не зависящий от $b$?

Посмотрите, какой у этого многочлена коэффициент при $b^n$. Или зафиксируйте $a = 1$ и устремите $b$ к бесконечности и к нулю.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1518243 писал(а):

Посмотрите, какой у этого многочлена коэффициент при $b^n$. Или зафиксируйте $a = 1$ и устремите $b$ к бесконечности и к нулю.

Ага, уже попытался. Как вы оцените, правильно я сделал вывод

artempalkin в сообщении #1518238 писал(а):

коэффициентом при $b^n$ будет вроде бы $|B|$

artempalkin в сообщении #1518238 писал(а):

свободным членом (в многочлене относительно $b$) будет $|aA|$

? На всякий случай хотелось бы быть уверенным :)

-- 12.05.2021, 12:44 --

svv
Что думаете, пойдет на несложную "задачку повышенной сложности"? :)

[svv]

Эээ... зависит от аудитории. Я тут на днях перечитывал (в n-й раз) грустный рассказ Фейнмана о бразильских студентах и бразильской системе образования, не читали?
http://www.abitura.com/modern_physics/Feynman1.html
Надеюсь, у нас такого нет! (когда вы чуть переформулируете стандартные вопросы, и у студентов ступор)

[artempalkin]

svv в сообщении #1518248 писал(а):

Надеюсь, у нас такого нет!

Как это нет? :) Конечно, есть, мой опыт в точности такой же, как у Фейнмана в этом вопросе :)

[Евгений Машеров]

Коэффициенты a и b можно пропорционально увеличивать/уменьшать, так что можно принять $a=1$.
Поскольку обе матрицы невырождены, можно домножить на $B^{-1}$ и рассматривать $AB^{-1}-bI=C-bI$
И задача сведётся к тому, существуют ли действительные собственные числа у действительной матрицы C.
(пока набирал - уже ответили, ну, пусть будет...)