Успехи исторической геометрии четырёх измерений

[arseniiv]

Так как тему «Тема для глупых вопросов ко всем участникам» закрыли, создаю здесь.

Как бы, по-вашему, развивалась геометрия, в том числе аналитическая; линейная алгебра и формализмы, используемые в физике, если бы пространство-время было пятимерным, и потому изучаемое издревле геометрами пространство четырёхмерным? Никаких вам прямых-нормалей к плоскостям, упрощающих нахождение углов и некоторых других построений.

Во времена Гамильтона, наверно и перед, и точно после, был целый ворох не очень долго популярных формализмов—отдельных гиперкомплексных алгебр, вместо которых сейчас более-менее унифицированные немногочисленные вещи типа пространств со скалярным произведением, внешней алгебры и т. п., в общем-то не дерущихся между собой и не претендующих на то, чтобы быть самым лучшим выбором для описания того или иного. Я бы ожидал, что люди меньше фиксировались после открытия комплексных чисел на алгебре ровно того количества размерностей, сколько у пространства. Ну то есть кватернионы были бы приятным подарком, конечно, но я бы ожидал, что и их ставили бы непосредственно после открытия не во главу всех возможных углов, потому что должно было бы быть более ясным, что одними векторами не обойдёшься. Возможно аналогу Грассмана посвятили бы больше внимания с самого начала.

А может нет. Что думаете вы? (Ожидается хоть какое-то представление об истории геометрии на этой Земле, а то так можно совсем навыдумывать.)

[Sinoid]

Не знаю. Я читал Хоккинга. Так он пишет, что, если бы значения основных физических констант отличалось хоть на немного от своих нынешних значений, существование вселенной было бы просто невозможным, а вы замахиваетесь на увеличение числа измерений. Впрочем, это мнение полного дилетанта во внешкольной физике...

-- 10.05.2021, 23:45 --

Sinoid в сообщении #1518051 писал(а):

Так он пишет, что, если бы значения основных физических констант отличалось хоть на немного от своих нынешних значений, существование вселенной было бы просто невозможным,

Но, да, значения этих констант измерены в уже существующей вселенной.

[arseniiv]

В физике могут быть действительно препятствия, но там слишком много возможностей, если мы допускаем кого-то достаточно похожего на людей, и возможно с небольшой долей нереалистичных предположений просто ради осмысленности вопроса. В этом нет ничего плохого.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1518053 писал(а):

если мы допускаем кого-то достаточно похожего на людей

В смысле, трансцендентное(-ые) существо(-а), Бога?

[arseniiv]

Нет, зачем, просто каких-то в меру разумных существ, которые могут задаваться такими же и праздными и практическими вопросами как мы.

[Sinoid]

Не, допущение, что эти существа живут не в нашей вселенной - это вообще путь в никуда: А потом еще, а потом еще и так до +бесконечности.

[arseniiv]

Ну раз в нашей вселенной четыре измерения, то я не могу поселить их в ней. Не селить же их в симуляции — толку от этого дополнительного слоя будет немного.

[iifat]

arseniiv в сообщении #1518047 писал(а):

Никаких вам прямых-нормалей к плоскостям, упрощающих нахождение углов и некоторых других построений

Насколько мне известно, живём мы с вами в трёхмерном пространстве (оставив на минутку в покое время и ОТО вообще). Вы испытываете какие-нить сложности в построениях на плоскости?

[Sender]

Sinoid в сообщении #1518051 писал(а):

Я читал Хоккинга. Так он пишет, что, если бы значения основных физических констант отличалось хоть на немного от своих нынешних значений, существование вселенной было бы просто невозможным

Возможно, это лишь следствие ограниченности наших представлений о том, что собой может представлять вселенная...

[alisa-lebovski]

arseniiv в сообщении #1518065 писал(а):

Не селить же их в симуляции — толку от этого дополнительного слоя будет немного.

Как раз в симуляции можно сделать произвольно многомерное пространство.

[Mirage_Pick]

Форумчане решили этого не упоминать, но в четырехмерии не работает принцип Гюйгенса, так что можно вообразить более выгодное в этом плане пятимерное пространство.

Во Вселенной с таким пространством обязательно существовал бы свой Гипершарыгин, у которого были бы задачки не только по планиметрии, но и по 3-х, 4-х, 5-мерной стереометрии) В школах на геометрию отводилось бы больше часов за счет новых стереометрий, и многомерного аналога тригонометрии - симплексометрии и т.д.

-- 11.05.2021, 15:12 --

И было бы еще забавней, если бы в такой Вселенной Евклид сходу открыл неевклидову геометрию) Эдакий усиленный принцип Арнольда в деле.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1518065 писал(а):

Не селить же их в симуляции — толку от этого дополнительного слоя будет немного.

Я тоже часто задумываюсь над этим вопросом. Мы не в состоянии этого отличить.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1518091 писал(а):

Насколько мне известно, живём мы с вами в трёхмерном пространстве (оставив на минутку в покое время и ОТО вообще). Вы испытываете какие-нить сложности в построениях на плоскости?

Я имел в виду широкоизвестную вещь, что трёхмерность нашего пространства даёт нам несколько вещей для срезания углов, недоступных в бо́льших размерностях:
- нормаль к плоскости позволяет что-то посчитать без нужды вводить для описания направлений плоскостей бивекторы;
- бивекторы неканонически изоморфны векторам, так что в частности мы можем говорить об осях вращения, тем более что в нашей размерности может быть лишь одна.

В этой теме я предполагаю, что эти и подобные вещи заранее известны.

Срезание углов хорошо лишь локально и может замедлять более общее понимание, особенно когда люди ещё не придумали этого лучшего понимания. Потому я предположил хотя бы четырёхмерное пространство, которое уже могло бы позволить нам через какие-то исторические вещи перепрыгнуть или вообще пойти другим путём. Как именно — вопрос к желающим пофантазировать на историческую тему; и я понимаю, что таких людей немного всегда, что в математике, что в других областях.

-- Вт май 11, 2021 22:54:08 --

alisa-lebovski в сообщении #1518093 писал(а):

Как раз в симуляции можно сделать произвольно многомерное пространство.

Это да; я имел в виду что проще уж сразу вообразить соответствующую вселенную просто саму по себе, чем выдумывать вложение в нашу. Модели гиперболической геометрии в евклидовой намного полезнее, чем такие модели миров с интересующими нас свойствами внутри нашего, потому что сам факт моделирования ничего интересного не говорит, в отличие от той или иной модели гиперболической геометрии (например конформные связывают евклидовые углы с углами в моделируемом пространстве, в проективной все прямые — отрезки прямых и т. д.).

Mirage_Pick в сообщении #1518119 писал(а):

Форумчане решили этого не упоминать, но в четырехмерии не работает принцип Гюйгенса, так что можно вообразить более выгодное в этом плане пятимерное пространство.

А почему не работает?

Mirage_Pick в сообщении #1518119 писал(а):

И было бы еще забавней, если бы в такой Вселенной Евклид сходу открыл неевклидову геометрию)

Но можем ли мы ожидать этого от него с повышенной вероятностью? Вот веками позже можно ожидать, что геометрия разных низкомерных групп преобразований типа $\mathrm{SO}(3)$ была бы наверно скорее очевидна (так же как у нас нет никаких проблем с $\mathrm{SO}(2)$), но Евклид вряд ли бы и в таких условиях дошёл бы уже до групп преобразований.

Ах, и они могли бы представлять графики преобразований комплексной плоскости как есть! Прощай, цветокодирование аргумента. Возможно это бы ускорило развитие ТФКП лет там на двадцать, не знаю.

[alisa-lebovski]

Для нас многие вещи, относящиеся к трехмерному пространству, интуитивно понятны, а к многомерным - не понятны. Возможно, для многомерных существ непонятные для нас вещи будут наоборот интуитивно понятны.

[arseniiv]

alisa-lebovski
Да, на это я и надеюсь, что эволюционно у них было бы понимание четырёхмерной геометрии и отсюда могли бы выйти нетривиальные ускорения в развитии математики.