Успехи исторической геометрии четырёх измерений

[alisa-lebovski]

Я как-то размышляла, как могла бы развиваться математика в мире с отрицательной кривизной пространства, в геометрии Лобачевского. Они бы не получили число "пи" эмпирически как отношение длины окружности к диаметру, но оно бы стало загадочным образом возникать в разных местах, как сумма ряда и др.

[arseniiv]

alisa-lebovski в сообщении #1518176 писал(а):

Они бы не получили число "пи" эмпирически как отношение длины окружности к диаметру

Думаете, они не заинтересовались пределом отношений для уменьшающихся окружностей? Нам-то с почти плоским пространством предел как раз не понадобился, но те же Евдокс или Архимед использовали методы, которые лежат не очень далеко.

Хотя если представить, что кривизна настолько велика (в том смысле, что существа занимают значительное место по сравнению с натуральной единицей длины), то может быть строить достаточно маленькие окружности было бы неудобно и про них долго бы не думали?..

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1518173 писал(а):

отсюда могли бы выйти нетривиальные ускорения в развитии математики.

Местами падающий темп развития математики, как и развитие науки вообще, связан с ленью, которая является оборотной стороной способности к познанию окружающего мира. А это, я думаю, никак не связано с числом измерений мира, в котором живет познающий субъект. Это, я думаю, присуще всем, во всяком случае, мыслящим существам.

[arseniiv]

Да нет, упаси Диэдр, я не предполагал, что где-то был падающий темп, просто внимание людей ограничено и если оно направлено куда-то в не очень оптимальные места, то ситуация одна, а когда они не отвлекаются на эти места, потому что видят из-за разницы внешних условий, что там мало смысла искать, то ситуация другая.

Тут я конкретно про ту кучку гиперкомплексных алгебр, пропоненты которых чуть ли не конкурировали, какую алгебру возьмут в обиход, а какая бесславно уйдёт в тень, но вообще это лишь отдельный маленький примерчик (если что, я ничего не имею против конкретно гиперкомплексных алгебр, но я больше за общую теорию и за более конструктивный подход — не перебирать алгебры в поисках подходящих для того или иного, а получать их естественным образом из более общего описания величин, типа получения алгебры кватернионов как чётной алгебры Клиффорда непосредственно того пространства, которое нас интересует, без всякой угадайки и отдельных доказательств, что это то самое и пр.).

[Someone]

Sinoid в сообщении #1518051 писал(а):

Не знаю. Я читал Хоккинга. Так он пишет, что, если бы значения основных физических констант отличалось хоть на немного от своих нынешних значений, существование вселенной было бы просто невозможным

Я Хокинга не читал, но на эту тему писал не только Хокинг. Суть дела состоит не в невозможности существования Вселенной, а в невозможности существования достаточно сложных структур, необходимых для возникновения жизни. На этом основан так называемый антропный принцип: Вселенная именно такая, какую мы видим, потому что в другой вселенной некому этот вопрос обсуждать.

arseniiv в сообщении #1518164 писал(а):

Mirage_Pick в сообщении #1518119 писал(а):

Форумчане решили этого не упоминать, но в четырехмерии не работает принцип Гюйгенса, так что можно вообразить более выгодное в этом плане пятимерное пространство.

А почему не работает?

Если не ошибаюсь, вот это как-то связано с принципом Гюйгенса: решение волнового уравнения

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2u}{\partial x_k^2}$$

в заданной точке при нечётном $n\geqslant 3$ зависит только от начальных значений на световом конусе прошлого, а при $n=1$ и при чётном $n$ оно зависит от начальных значений не только на на самом конусе, но и от начальных значений внутри него.
Например, если в нашем трёхмерном пространстве на секунду вспыхивает лампочка, то мы и видим вспышку продолжительностью в секунду. А в четырёхмерном пространстве мы видели бы вспышку с последующим постепенным угасанием.

Пространства размерности $n>3$ имеют ещё тот недостаток, что в них гравитационное взаимодействие не может образовать устойчивые планетные системы вокруг звёзд или устойчивые галактики: всякое тело либо падает на центральное тело, либо улетает от него.

[arseniiv]

Someone в сообщении #1518200 писал(а):

Пространства размерности $n>3$ имеют ещё тот недостаток, что в них гравитационное взаимодействие не может образовать устойчивые планетные системы вокруг звёзд или устойчивые галактики: всякое тело либо падает на центральное тело, либо улетает от него.

Ага, вот это помню. Кажется, некоторые писатели жёсткой НФ что-то пытались с этим сделать, но ничего не помню про то, что именно, и с каким успехом.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Цитата:

Someone в сообщении #1518200 писал(а):

Суть дела состоит не в невозможности существования Вселенной, а в невозможности существования достаточно сложных структур, необходимых для возникновения жизни.

Не, а у Хоккинга именно про невозможность существования вселенной.

Someone в сообщении #1518200 писал(а):

На этом основан так называемый антропный принцип: Вселенная именно такая, какую мы видим, потому что в другой вселенной некому этот вопрос обсуждать.

Именно поэтому я и приписал:

Sinoid в сообщении #1518051 писал(а):

Sinoid в сообщении #1518051

писал(а):
Так он пишет, что, если бы значения основных физических констант отличалось хоть на немного от своих нынешних значений, существование вселенной было бы просто невозможным,
Но, да, значения этих констант измерены в уже существующей вселенной.