Задачи: счетные, несчетные множества

[GlobalMiwka]

Ну, да. В задаче говориться о том, чтобы доказать, а не показать конкретный алгоритм соотвествия элементов.

[ctdr]

(Оффтоп)

GlobalMiwka в сообщении #1517901 писал(а):

доказать, а не показать конкретный алгоритм соотвествия элементов.

Ну, я знал что рисковал :) Не смею больше Вас отвлекать от размышлений над настоящими доказательствами.

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517886 писал(а):

Согласно методу Кантора о смешивании получаем, что $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv \cdots$,

То есть про конечные кортежи вы уже знаете?

GlobalMiwka в сообщении #1517886 писал(а):

$\mathbb R \cup \mathbb R \cup \mathbb R \cup \mathbb R \cup \ldots = \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R$

Это что-то странное написано.

GlobalMiwka в сообщении #1517886 писал(а):

А что это за интервал, можно подробнее?

Обычный интервал на вещественной прямой.
Если вы про "смешивание" знаете, то осталось только показать, что множество пар вида (натуральное число, вещественное число) равномощно множеству вещественных чисел. Для этого достаточно разбить вещественную прямую на счетное число подмножеств, каждое из которых равномощно прямой.

[GlobalMiwka]

рассуждения такие.

1. $[0,1] \equiv [a,b] \equiv (0,1) \equiv \mathbb R \equiv$ множеству бесконечных последовательностей $\{0,1\}$
2. согласно теорема Кантора о равономощности квадара его стороне, следует $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv\cdots\equiv \mathbb R^n\cdots$
3. разобьем пряму $\mathbb R$ на отрезки, можно любой длины.
4. так как в каждом отрезке можно выбрать рациональное число, а рациональных чисел сченое множество, то этих отрезков счетное множество.
5. интервалы этих отрезков равномощны $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv\cdots\equiv \mathbb R^n\cdots$
6. теперь выкинем точки этих отрезков, которых счетное множество.
7. теперь докажем, что такая вот дрявая прямая равномощна всей прямой:
$A \setminus (P+Q)+Q=A\setminus P$
$A \setminus (P+Q)+(P+Q)=A$

так как $P,Q$ счетные множества, то можно установить однозначное соотвествие между $(P+Q)\rightarrow Q$, т.е. $A\setminus P\equiv A$

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

разобьем пряму $\mathbb R$ на отрезки

Не получится. Будут либо пересекаться, либо не покроют всё.

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

так как в каждом отрезке можно выбрать рациональное число, а рациональных чисел сченое множество, то этих отрезков счетное множество

А вдруг меньше?

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

интервалы этих отрезков равномощны $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv\cdots\equiv \mathbb R^n\cdots$

Зачем? Просто сами отрезки (по первому пункту) равномощны кортежам, без всяких "интервалов этих отрезков".

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

теперь выкинем точки этих отрезков, которых счетное множество

Что такое "точки отрезков"?

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

$A \setminus (P+Q)+Q=A\setminus P$

А тут появляются неизвестно что значащие буквы.

С первыми двумя пунктами всё хорошо, третий нужно переделать, дальше ушли куда-то не туда.

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1517929 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

разобьем пряму $\mathbb R$ на отрезки

Не получится. Будут либо пересекаться, либо не покроют всё.

Ладно, тогда счетное множество несчетных множеств дает несчетное множество, которое равномощно прямой, и дальше выкинуть токчи отрезков. Отрезки такие $[a,b],[b,c],[c,d],\cdots$

-- 10.05.2021, 15:08 --

mihaild в сообщении #1517929 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

теперь выкинем точки этих отрезков, которых счетное множество

Что такое "точки отрезков"?

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

$A \setminus (P+Q)+Q=A\setminus P$

А тут появляются неизвестно что значащие буквы.

а это к задаче. Докажите, что если $A$ бесконечно и не является счётным, а $B$ конечно или счётно, то $A \setminus B$ равномощно $A$.

-- 10.05.2021, 15:21 --

mihaild в сообщении #1517929 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

так как в каждом отрезке можно выбрать рациональное число, а рациональных чисел сченое множество, то этих отрезков счетное множество

А вдруг меньше?

а это к задаче. 31. Докажите, что любое семейство непересекающихся интервалов на прямой конечно или счётно. (Указание: в каждом интервале найдётся рациональная точка.)

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1517929 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517926 писал(а):

разобьем пряму $\mathbb R$ на отрезки

Не получится. Будут либо пересекаться, либо не покроют всё.

Наверное. А с чего надо начать, чтобы доказать, что все не покроет? Теперь доказательство счетности непересекаемых интервалов не столь очевидна мне, можно ведь выбрать и иррациональные числа в интервале, которых несчетное множество и тоже вроде однозначное соотвествие ?

-- 10.05.2021, 20:03 --

Еще вот в задаче про счетность непересекающихся букв "Т", в книге Виленкина говорится о том, чтобы пересекать их с треугольниками с рациональными координатами вершин. А что нельзя выбрать с иррациональными вершинами ?

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517984 писал(а):

А с чего надо начать, чтобы доказать, что все не покроет?

Это не совсем тривиальное свойство, и оно вам не нужно.
Разбить прямую на счетное число попарно непересекающихся континуальных множеств можно легко, просто это будут не отрезки.

GlobalMiwka в сообщении #1517984 писал(а):

можно ведь выбрать и иррациональные числа в интервале, которых несчетное множество и тоже вроде однозначное соотвествие ?

Нет, не будет - разным иррациональным числам может быть сопоставлен один и тот же сегмент.

[GlobalMiwka]

Ладно, я так понимаю можно свести эту задачу к следующей.

Укажите взаимно однозначное соответствие между множеством $[0, 1] \cup [2, 3] \cup [4, 5] \cup \cdots$ и отрезком $[0, 1]$.

Где каждый отрезок у нас будет равномощен $R^k$. Будем решать эту задачу.

на потом

mihaild в сообщении #1518031 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517984 писал(а):

А с чего надо начать, чтобы доказать, что все не покроет?

Это не совсем тривиальное свойство, и оно вам не нужно.
Разбить прямую на счетное число попарно непересекающихся континуальных множеств можно легко, просто это будут не отрезки.

где это можно посмотреть?!

mihaild в сообщении #1518031 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517984 писал(а):

можно ведь выбрать и иррациональные числа в интервале, которых несчетное множество и тоже вроде однозначное соотвествие ?

Нет, не будет - разным иррациональным числам может быть сопоставлен один и тот же сегмент.

Не ясно. В интервале же есть бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел, т.е. одному интервалу можно не одно число сопоставить как рациональное так и иррациональное.

[arseniiv]

GlobalMiwka в сообщении #1518077 писал(а):

где это можно посмотреть?!

Здесь: $\ldots \cup [0; 1) \cup [1; 2) \cup [2; 3) \ldots$

[GlobalMiwka]

arseniiv в сообщении #1518078 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1518077 писал(а):

где это можно посмотреть?!

Здесь: $\ldots \cup [0; 1) \cup [1; 2) \cup [2; 3) \ldots$

Не ясно. А что отрезки $\ldots \cup [0; 1] \cup [1; 2] \cup [2; 3] \ldots$ не покроют всю прямую, то что пересекаются понятно?

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1518077 писал(а):

В интервале же есть бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел

Стандартная схема доказательства того, что система непересекающихся интервалов не более чем счетна: можно выбрать в каждом интервале по рациональному числу, оно будет однозначно задавать интервал, рациональных чисел не более чем счетно - следовательно, наша система не более чем счетна. Вы про это рассуждение?
Изложите, какой вариант с иррациональными числами вас беспокоит?

GlobalMiwka в сообщении #1518079 писал(а):

А что отрезки $\ldots \cup [0; 1] \cup [1; 2] \cup [2; 3] \ldots$ не покроют всю прямую, то что пересекаются понятно?

Покроют. Но нам же биекция нужна.

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1518096 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1518077 писал(а):

В интервале же есть бесконечно много и рациональных и иррациональных чисел

Стандартная схема доказательства того, что система непересекающихся интервалов не более чем счетна: можно выбрать в каждом интервале по рациональному числу, оно будет однозначно задавать интервал, рациональных чисел не более чем счетно - следовательно, наша система не более чем счетна. Вы про это рассуждение?
Изложите, какой вариант с иррациональными числами вас беспокоит?

Счетность множества интервалов определяется тем, с каким множеством оно ставиться во взаимно однозначное соответсвие, как я понимаю. В интервале есть как рациональные числа, так и иррациональные. Чем определяся выбор множества для взаимно однозначного соотвествия между подмножеством рациональных чисел и подмножеством иррациональных чисел? Почему выбор пал именно на рациональные числа ?

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1518112 писал(а):

Чем определяся выбор множества для взаимно однозначного соотвествия между подмножеством рациональных чисел и подмножеством иррациональных чисел?

Мы в этом рассуждении не строим взаимно-однозначного соответствия. Мы строим сюръекцию из (некоторого подмножества) рациональных чисел в нашу систему интервалов.

GlobalMiwka в сообщении #1518112 писал(а):

Почему выбор пал именно на рациональные числа ?

Потому что их счетно, а мы хотим доказать, что наших интервалов не более чем счетно. Можно было бы взять иррациональные, но получилось бы более слабое утверждение (что интервалов не более чем континуум).

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1518113 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1518112 писал(а):

Чем определяся выбор множества для взаимно однозначного соотвествия между подмножеством рациональных чисел и подмножеством иррациональных чисел?

Мы в этом рассуждении не строим взаимно-однозначного соответствия. Мы строим сюръекцию из (некоторого подмножества) рациональных чисел в нашу систему интервалов.

Значит рассуждения примерно такие. Может ли быть несчетное кол-во интервалов. Ответ: нет, потому что, не равномощны счетное и несчетное множества. Если бы интервалов было несчетное множество, то не было бы для его счетного рационального числа, а так как в любом итервале есть рациональное число, то и их множество счетно.

Тогда получается, что решить ее нельзя в книге к этому моменту, потому что я еще не занаю о несчтеных множествах и их неравномощности, хотя бегло, где-то может упоминалось о существовании несчетного множества.

Спасибо,mihaild. Много я у вас времени потратил.