Задачи: счетные, несчетные множества

[GlobalMiwka]

42. Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $R$ (множеству всех действительных чисел).

Я не совсем понял понял выражение "всех конечных последовательностей действительных чисел", речь идет о действительных числах целых и дробных фиксированой длины? Если так, то как они могут быть равномощными, ведь данной длине соотвествует конечное кол-во комбинаций включая запятую, тогда получается счетное кол-во счетных конечных последовательности, тогда получается, что "всех конечных последовательностей действительных чисел" счетное множество?

[arseniiv]

Не, множество конечных последовательностей, элементы которых — вещественные числа. То есть $\mathbb R^0 \cup \mathbb R^1 \cup \mathbb R^2 \cup \mathbb R^3 \cup \ldots$, или конкретнее говоря $\bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R^n$.

[GlobalMiwka]

Ничего придумать не могу как их сопоставить. С чего начать ?

[mihaild]

Попробуйте начать с сопоставления множеств последовательностей из нулей и единиц с множеством пар таких последовательностей. И подумайте, как эта задача связана с предыдущей.

[GlobalMiwka]

это значит предствить числа ввиде последовательности $0$ и $1$, потом перемешать их как у Кантора и пара предствлена ввиде одного числа, потом полученное такое число перемешать с 3 числом и получить сновод одно число, потом перемешать с 4 числом и так далее ? что-то детали проработать не получается.

Наверное надо думать о $(x)$ - координата 1, $(x,y)$ - координата 2, $(x,y,z)$ - как 3 и т.д. потом картежи длины $n$ как одно число, а потом все координаты как одно число ?

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517716 писал(а):

это значит предствить числа ввиде последовательности $0$ и $1$

Да, только это чуть менее тривиально (просто двоичная запись не подойдет - она не устанавливает биекцию между числами и последовательностями).

GlobalMiwka в сообщении #1517716 писал(а):

что-то детали проработать не получается

Напишите максимально подробно, что получается.

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1517718 писал(а):

Да, только это чуть менее тривиально (просто двоичная запись не подойдет - она не устанавливает биекцию между числами и последовательностями).

Почему? В книге равномощность квадрата и отрезка в таком виде доказывается. Отрезок $[0, 1]$ равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, а сам отрезок равномощен прямой, тогда по транзитивности множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц равномощно прямой так ведь ?

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517720 писал(а):

Почему?

Потому что при наивном сопоставлении последовательности $00111111\ldots$ и $010000000\ldots$ окажутся сопоставлены одному и тому же числу.

GlobalMiwka в сообщении #1517720 писал(а):

В книге равномощность квадрата и отрезка в таком виде доказывается.

В какой?

GlobalMiwka в сообщении #1517716 писал(а):

Наверное надо думать о $(x)$ - координата 1, $(x,y)$ - координата 2, $(x,y,z)$ - как 3 и т.д. потом картежи длины $n$ как одно число, а потом все координаты как одно число ?

Непонятно, что это значит.
Тут ИМХО стоит действовать в несколько этапов. Сначала заменить числа на последовательности. Потом придумать, как решить задачу для пар последовательностей. Потом обобщить это на произвольные $n$-ки последовательностей. И уже в конце объединить все $n$-ки.

[GlobalMiwka]

mihaild в сообщении #1517721 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517720 писал(а):

В книге равномощность квадрата и отрезка в таком виде доказывается.

В какой?

в книге Н. К. Верещагин, А.Шень.

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517722 писал(а):

в книге Н. К. Верещагин, А.Шень

Читаейте внимательно, там есть оговорка про то, что "описанное соответствие пока что не совсем взаимно однозначно".

[TOTAL]

GlobalMiwka в сообщении #1517708 писал(а):

Ничего придумать не могу как их сопоставить. С чего начать ?

А что если расправиться с последовательностями фиксированной длины отдельно?
Наприменр, последовательности длины $N$ сопоставить с $[N-1,N)$.

[GlobalMiwka]

так и с десятичными числами не все однозначно, например: $0,5 = 0,4(9)$
Единственное, что мне ясно, так это только то, что $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv \cdots$

[mihaild]

GlobalMiwka в сообщении #1517752 писал(а):

так и с десятичными числами не все однозначно, например: $0,5 = 0,4(9)$

Что вы под этим понимаете?
Я просто указывал, что доказательство равномощности множества последовательностей и отрезка не сводится к взятию последовательности в качестве дробной части. Если

GlobalMiwka в сообщении #1517720 писал(а):

Отрезок $[0, 1]$ равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц

уже считается известным - то всё хорошо.

В любом случае, ИМХО самая интересная часть в этой задаче - доказать, что множество последовательностей равномощно множеству пар последовательностей. Как раз про "перемешивание".

[GlobalMiwka]

Это наверное задача из ряда как вывернуть шар наизнанку не разорвав его, доказательство возможности есть, а технически надо потратить 7 лет жизни, чтобы найти такой способ и наверное он не один такой способ.

Думаю так.

Согласно методу Кантора о смешивании получаем, что $\mathbb R \equiv \mathbb R^2 \equiv \mathbb R^3 \equiv \cdots$, тогда получаем $\mathbb R \cup \mathbb R \cup \mathbb R \cup \mathbb R \cup \ldots = \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R$

$\bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R \leqslant \mathbb R^n \equiv \mathbb R$, дальше $\mathbb R \leqslant \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R$, значит $\bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R^n \equiv \bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R \equiv \mathbb R$.

Но в книге мы еще не дошли до Кантора-Бернштейна, поэтому наверное такое доказательство не совсем подходит, а явного алгоритма сопоставления не получается, обязательно какой-нибудь изъян.

-- 10.05.2021, 05:20 --

TOTAL в сообщении #1517748 писал(а):

GlobalMiwka в сообщении #1517708 писал(а):

Ничего придумать не могу как их сопоставить. С чего начать ?

А что если расправиться с последовательностями фиксированной длины отдельно?
Наприменр, последовательности длины $N$ сопоставить с $[N-1,N)$.

А что это за интервал, можно подробнее? Там вроде просто объединение элементов различных несчетных множеств?

[ctdr]

GlobalMiwka в сообщении #1517886 писал(а):

$\bigcup_{n \in \mathbb N} \mathbb R \leqslant \mathbb R^n \equiv \mathbb R$

Что такое $n$ в правой части? :)

Я не специалист (другие участники да), но рискну посоветовать.

Не жонглируйте формулами. Лучше представьте себе отображения в уме, пофантазируйте над ними.

Плюньте пока на счётные множества (типа той оговорки в книжке, на которую указал mihaild; в методе-подсказке TOTAL такие оговорки тоже будут), и посмотрите на "мясо" (множество *вещественных* чисел). И поотображайте его (мясо) туда-сюда.

Вам предложили (ну TOTAL не предложил, а намекнул) 2 способа установить биекцию.

В первом -- вдохновитесь (простой собственно) идеей диагонального процесса (теорема 2, в) и немного модифицируйте её.

Во втором интервалы эти -- ну просто какие-то интервалы, удобные для решения задачи. Ничего особенного в них нет.

Вот ещё к этому (второму) методу подсказка (Ваши же слова):

GlobalMiwka в сообщении #1517720 писал(а):

отрезок равномощен прямой

Если речь лишь про "мясо" (плюнуть на оговорки) -- тут всё очень легко, в обоих методах (это тоже подсказка кстати).