ОДЗ в задании с параметром

[lel0lel]

alisa-lebovski в сообщении #1517437 писал(а):

При чем тут алгебры, когда котангенс.

Понятие кратности корня лучше всего объяснять с помощью этой теоремы. И хорошо бы отучить школьников говорить про один корень, когда дискриминант квадратного уравнения ноль, пусть лучше говорят: "имеет два одинаковых корня". В задаче кстати при $a=0$ совпадают как раз корни квадратного уравнения, в этом случае котангенс вне игры. К тому же в уравнении от котангенса можно избавиться, заменив его полиномом с такими же корнями, правда степень полинома лучше сделать конечной, то есть оставить только корни из требуемого промежутка.

На всякий случай скажу, что я не утверждаю, что найденное решение правильно со "школьной точки зрения", вполне может быть что правильно так:

alisa-lebovski в сообщении #1517437 писал(а):

Я все-таки думаю, что если такая задача попадется на ЕГЭ или ДВИ, то надо будет добавить $a=0$ и $a=-1$.

Но пусть тогда составители таких задач пишут в условии про различные корни, иначе нехорошо.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517443 писал(а):

Но пусть тогда составители таких задач пишут в условии про различные корни, иначе нехорошо.

Традиции уже давно сложились. Вы их хотите переделать? Ровно такое же понимание числа корней было и тогда, когда я был школьником.

-- Сб май 08, 2021 14:08:47 --

lel0lel в сообщении #1517443 писал(а):

К тому же в уравнении от котангенса можно избавиться, заменив его полиномом с такими же корнями, правда степень полинома лучше сделать конечной

Ну, это вообще какие-то танцы с бубнами. А ради чего?

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517445 писал(а):

Традиции уже давно сложились. Вы их хотите переделать?

Если что-то можно изменить в лучшую сторону, то почему нет? А то прилежный школьник ходит и задаёт себе вопрос: "куда исчезает один корень квадратного уравнения при стремлении дискриминанта к нулю". Ответ он конечно найдёт, построив параболу. Но не лучше ли всем знать, что корни просто совпадают, а их количество не меняется.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517446 писал(а):

Если что-то можно изменить в лучшую сторону, то почему нет?

А я не уверен, что это будет в лучшую сторону. И потом, традиции, особенно долгоживущие, менять --- дело очень хлопотное, особенно в школьной математике.

lel0lel в сообщении #1517446 писал(а):

Но не лучше ли всем знать, что корни просто совпадают, а их количество не меняется.

У квадратного уравнения может вообще не быть корней, с этим в школьной математике вполне свыклись.

Тут как-то мне говорили про иной смысл фразы "решить уравнение" (не как "найти все решения", а как "найти хотя бы одно решение"). Как-то очень революционно.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517448 писал(а):

У квадратного уравнения может вообще не быть корней, с этим в школьной математике вполне свыклись.

Да, и это корректное утверждение, ведь речь идёт о поле вещественных чисел. То есть здесь всё строго и школьнику об этом же скажут в вузе. Но когда считают вещественные корни -- принято терять кратные, ничего не говоря об этом.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517450 писал(а):

Но когда считают вещественные корни -- принято терять кратные, ничего не говоря об этом.

В вузе также рассказывают о таком понятии, как кратность корня. И это мне кажется правильным --- обсуждать не число корней, а кратность одного корня (как элемента поля или кольца или еще чего-нибудь). Где-то и в школах об этом говорят (на примере многочленов), но запихивать все это в обычную школьную программу --- она же не резиновая, да и профит не виден. Мне кажется, что вопрос с числом корней в школьной алгебре достаточно хорошо проработан с методической точки зрения. Что-то менять здесь себе дороже выйдет.

Вот два уравнения: $\sin{x}=0$ и $(\sin{x})^2=0$. Сколько у них корней? (У второго вроде бы в два раза больше.) А они вообще равносильны? Как-то не хочется заново (в свете нового представления о числе корней) разбираться со всем этим.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517453 писал(а):

Вот два уравнения: $\sin{x}=0$ и $(\sin{x})^2=0$. Сколько у них корней? (У второго вроде бы в два раза больше.) А они вообще равносильны?

Такое если и встречается, то крайне редко. Но если уж встретилось, то записать привычную серию, указав, что все корни имеют кратность 2. Не так уж энергозатратно приучить детей писать, что уравнение $x^3=0$ имеет корень ноль кратности 3.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517457 писал(а):

Не так уж энергозатратно приучить детей писать, что уравнение $x^3=0$ имеет корень ноль кратности 3.

В масштабах всей страны? Ой-ой-ой. Для спецшкольников понятие кратности корня известно, но только для случая многочленов. А уже для синусов-экспонент-логарифмов придется ТФКП рассказывать, что, наверное, перебор даже для спецшкольников.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517458 писал(а):

В масштабах всей страны?

Ввести понятие кратности в 10 классе. Буквально один-два урока, а дальше это будет постоянно закрепляться практикой.

nnosipov в сообщении #1517458 писал(а):

А уже для синусов-экспонент-логарифмов придется ТФКП рассказывать

Зачем ТФКП, школьники знакомы с производной. Можно так: корень имеет кратность $n$, если $(n-1)$-ая производная равна нулю, а $n$-ая не равна нулю. Вполне по-школьному получится. Правда это работает только для точек, в которых функция бесконечно дифференцируема.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517461 писал(а):

Можно так: корень имеет кратность $n$, если $(n-1)$-ая производная равна нулю, а $n$-ая не равна нулю.

А это не работает даже для многочленов (над полями ненулевой характеристики). Т.е. в вузе потом некоторым придется переучиваться. Кратность корня --- понятие алгебраическое (связано с разложением на множители), вводить его с помощью производной было бы искусственно.

lel0lel в сообщении #1517461 писал(а):

Буквально один-два урока, а дальше это будет постоянно закрепляться практикой.

А учебники писать? Мы же обсуждаем весь спектр проблем. И мне он кажется весьма широким.

[alisa-lebovski]

По-моему, строго говоря, корни бывают у многочленов, а у уравнений (тем более трансцендентных, как данное) бывают решения. И речь идет о числе решений уравнения. Или о числе нулей функции. Разве тут надо складывать кратности всех нулей?

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517469 писал(а):

Т.е. в вузе потом некоторым придется переучиваться.

Лучше сказать узнавать более общие определения. В некотором смысле с понятием производной тоже самое -- у него существует много обобщений, но это не вполне переучивание, скорее доучивание.

nnosipov в сообщении #1517469 писал(а):

А учебники писать?

При современном развитии печатного дела... Желающих будет не мало. Главное, чтобы новые писатели сохранили то лучшее, что есть в проверенных учебниках.

alisa-lebovski
Всё это почти синонимы, лучше не создавать новых различающихся терминов (решения, нули, корни), это только усилит путаницу.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Zero_of_a_function

[alisa-lebovski]

lel0lel в сообщении #1517472 писал(а):

Всё это почти синонимы, лучше не создавать новых различающихся терминов (решения, нули, корни), это только усилит путаницу.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Zero_of_a_function

Во-первых, это вовсе не синонимы, а во-вторых, по ссылке сказано, что число корней многочлена не больше степени, т.е. они понимаются в школьном смысле.

[lel0lel]

alisa-lebovski в сообщении #1517477 писал(а):

число корней многочлена не больше степени, т.е. они понимаются в школьном смысле.

Нет, это значит, что корни могут рассматриваться не над полем комплексных чисел. Кратность же учитывают всегда. И да, нули функции и корни функции это синонимы (как и написано в Википедии), может быть что-то из этого используется реже. Насчёт термина "решения" тут всё зависит как мы договоримся, но логичнее всего кратность учитывать.

[alisa-lebovski]

То есть уравнение $x^{100}=0$ имеет 100 решений?