ОДЗ в задании с параметром

[add314]

Решал, на первый взгляд, несложное задание с параметром. Само задание звучит так:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x^2-(a+4)x+2a+4)\cdot(\ctg(\frac{\pi x}{3})-\frac{\sqrt{3}}{3})=0$ на промежутке $[0;3]$ имеет ровно два корня.

Сперва нашёл ОДЗ. Т.к. тангенс не определён при некторых значениях -- $\frac{\pi x}{3}\ne\pi n, n \in\mathbb{Z}$. Отсюда $x \ne 3n$
Далее решал стандартно:

$$\left[ \begin{gathered} $x^2-(a+4)x+2a+4=0$ (1)\\ $\ctg(\frac{\pi x}{3})-\frac{\sqrt{3}}{3}=0$ (2)\\ \end{gathered} \right.$$

Корень уравнения (2): $x_{1}=1+3k, k\in \mathbb{Z}$. Уравнение (1) решал как квадратное относительно $x$, нашёл дискриминант. $D=a^2+8a+16-8a-16=a^2$. Отсюда $x_{2,3}=\frac{a+4 \pm |a|}{2}$. Тогда корни:

$$\left[ \begin{gathered} $x_{1}=1+3k$\\ $x_{2} = 2$\\ $x_{3} = a+2$\\ \end{gathered} \right.$$

Выходит три корня. Однако в задании просят, чтобы на промежутке $[0;3]$ было два корня. Тогда нужно, чтобы корень $x_{3}=a+2$ не входил в данный промежуток, т.к. $x_{1}$ входит при $k=0$ и $x_{2} $ входит. Следовательно:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a+2 < 0 \\ a+2 > 3 \\ \end{array} \right.$$

Отсюда:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a < -2 \\ a > 1 \\ \end{array} \right.$$

Верно ли то, что нужно еще учесть условие ОДЗ, и правильно ли я его его учитываю: $x \ne 3n$, то есть и $a+2\ne 3n \Rightarrow a \ne 3n-2$ ? Вопрос возник именно в этом, что-то я недопонял преподавателя. Так вот правильно ли я понимаю, что ответ будет таким: $a\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty) \backslash$ $\left\lbrace 3n-2\right\rbrace$

[Pphantom]

add314 в сообщении #1517401 писал(а):

Тогда нужно, чтобы корень $x_{3}=a+2$ не входил в данный промежуток, т.к. $x_{1}$ входит при $k=0$ и $x_{2} $ входит.

Есть еще один вариант (вернее, даже два) - корень может быть кратным.

[add314]

Pphantom в сообщении #1517405 писал(а):

корень может быть кратным

Насколько я понимаю, Вы имеете ввиду кратность $x_{3}$ ? Честно говря, всё равно не очень понимаю, неужто он может быть кратен $3$ ? Я вот в этом моменте путаюсь. То есть, если $x_{3}$ кратен $3$, то он не входит в ОДЗ и не является корнем данного уравнения? Или мыслю в неправильную сторону?

[alisa-lebovski]

Он имеет в виду, что корни могут совпадать, из-за этого их станет меньше.

[lel0lel]

Два корня на интервале вы уже нашли. Теперь на параметр нужно наложить следующие условия: $ x_3$ не принадлежит интервалу (это вами сделано), или принадлежит, но не удовлетворяет одз, или принадлежит но совпадает с одним из корней (честно говоря это спорный момент, так как корней на интервале всё-таки будет 3, а различных 2, но в условии не сказано про различность)

[alisa-lebovski]

lel0lel в сообщении #1517410 писал(а):

честно говоря это спорный момент, так корней на интервале всё-таки будет 3, а различных 2, но в условии не сказано про различность

Со школьной точки зрения, их будет 2.

[add314]

alisa-lebovski в сообщении #1517411 писал(а):

Со школьной точки зрения, их будет 2.

решая подобное, мы учитываем то, что корни могут быть равными и что при этом их количество не меняется. Даже если корни совпадают, их там всё равно три

[lel0lel]

add314 в сообщении #1517412 писал(а):

мы учитываем то, что корни могут быть равными и что при этом их количество не меняется

Вот это молодцы, учитель у вас грамотный! Потому как основную теорему алгебры нужно знать со школьной скамьи. Осталось установить при каких значениях параметра $a$ предполагаемый корень $x_3$ не принадлежит одз и объединить эти значения с ранее найденным интервалом.

[add314]

lel0lel в сообщении #1517413 писал(а):

при каких значениях параметра $a$ предполагаемый корень $x_3$ не принадлежит одз

При $a\in \left\lbrace -2; 1\right\rbrace$ ? Это если для данного промежутка. Ну или, если я правильно написал в первом сообщении, при $a = 3n-2$

[lel0lel]

Да. Эти значения пойдут в ответ, до этого их там не было. Но, строго говоря, при $a=3n-2$. В первом сообщении вы их наоборот исключали, а надо было добавлять. Ответ же надо записать максимально компактно, объединять то, что и так уже есть не следует.

[add314]

lel0lel в сообщении #1517415 писал(а):

надо записать максимально компактно

Тогда получится так: $a\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty)$.

[lel0lel]

Теперь всё правильно. Только если будете оформлять, то поправьте это

add314 в сообщении #1517401 писал(а):

Следовательно:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a+2 < 0 \\ a+2 > 3 \\ \end{array} \right.$$

Отсюда:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a < -2 \\ a > 1 \\ \end{array} \right.$$

[add314]

lel0lel в сообщении #1517417 писал(а):

Теперь всё правильно

Большое Вам спасибо!
Всем большое спасибо!

[alisa-lebovski]

lel0lel в сообщении #1517413 писал(а):

Потому как основную теорему алгебры нужно знать со школьной скамьи.

При чем тут алгебры, когда котангенс. Я все-таки думаю, что если такая задача попадется на ЕГЭ или ДВИ, то надо будет добавить $a=0$ и $a=-1$.

[nnosipov]

add314 в сообщении #1517412 писал(а):

Даже если корни совпадают, их там всё равно три

Нет, их два. Т.е., например, значение $a=0$ удовлетворяет условию задачи. В подобных задачах корни с учетом их кратности не считают (хотя бы потому, что понятие кратности корня не входит в обычную программу по математике). В любом случае советую с этой задачей обратиться на форум https://alexlarin.com, который как раз специализируется на решении ЕГЭ-шных задач. Там лучше разбираются в нюансах школьной (тем более, ЕГЭ-шной) математики, чем здесь.

lel0lel в сообщении #1517413 писал(а):

Вот это молодцы, учитель у вас грамотный!

Может, и грамотный, но запутать ученика может. Потом на ЕГЭ проблемы могут быть.

-- Сб май 08, 2021 12:57:23 --

alisa-lebovski в сообщении #1517437 писал(а):

При чем тут алгебры, когда котангенс.

Вот-вот. Именно поэтому (что тип уравнений может быть самый разный) говорить о кратных корнях в школьной математике довольно бессмысленно.