Сколько существует видов треугольников, ...

arseniiv · 27/04/09 28128

TR63 в сообщении #1516921 писал(а):

Это дополнительный шаг. В исходных данных нет произвольной точки. Произвольно её поставить мы не можем.

Можем, если используем потом только те из результатов построения, которые от произвольности точки не зависят. В этом построении это например сам перпендикуляр и отражение данной нам точки относительно данной прямой и пересечение перпендикуляра с данной прямой.

Даже если запретить ставить точки произвольно, то раз исходно дан целый треугольник, мы можем покрыть плоскость построимыми по этому треугольнику точками всюду плотно. Так что куда мы ни ткни в поисках произвольной точки, мы можем построить точку, настолько близкую к тому месту, насколько нам не жалко шагов. Так что если вам важна только конечность числа шагов и исходный треугольник невырожденный, требование чистоты излишне.

-- Ср май 05, 2021 18:05:26 --

TR63 в сообщении #1516474 писал(а):

Цель- найти условия, чтобы алгоритма осталось три (биссектральный, высотный, медианный).

Ой, плачевно. А сама эта цель чем-то рождена?

-- Ср май 05, 2021 18:07:11 --

То есть даже если начать считать шаги и ограничить их число, это будет искусственное решение проблемы, примерно того же толка что и ограничения на тип и порядок шагов в построениях. Не искусственных как-то не видно мне.

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида

Если честно, то вся эта затея с искусственым ограничением для треугольников выглядит как готовый кандидат для отправки в Пургаторий.

arseniiv · 27/04/09 28128

Может, там где-то внутри благородная цель. А пока действительно выглядит, что вот мы в школе изучали биссектрису, медиану и высоту, мимо сознания решили, что они самые-рассамые выделенные из всех и стали подгонять решение под желаемый ответ. И нередко это правильный подход, просто нужно чтобы объекты были действительно естественно выделены среди всего, и что мы знаем, какие свойства пространства мы требуем, а какие нам не должны быть важны, и что те свойства не используются при показании выделенности тех объектов. И т. п., тут трудно найти общие слова и оставить аргумент понятным, в общем это часть общематематической интуиции по-моему: некоторые задачи тривиально разрешимы или тривиально неразрешимы (или в каком-то смысле тривиально некорректно поставлены, не суть) потому что требуется «ровно столько» сколько дано (в первом случае), или куда больше чем дано (во втором случае).

(И свежий пример задачи, где требуется ровно столько, сколько дано: «Использование непустоты множеств при доказательстве». Вывод (по крайней мере в моём посте там пониже; ссылка на само условие для понятности) достигается практически механически: легко видеть, когда пора распаковать формулу и когда пора начать собирать урожай.)

TR63 · 03/03/12 1380

arseniiv в сообщении #1516978 писал(а):

Можем, если используем потом только те из результатов построения, которые от произвольности точки не зависят.

Хорошо(хотя Ваше объяснение мне малопонятно, но это не столь важно; главное, что нужно просто правильно посчитать количество шагов при разрешённых операциях; можно и не считать, обозначив буквой $(k_1,k_2,k_3)$ для (биссектрисы, высоты, медианы) и считать, что $k_1+k_2+k_3=7$ (это при использовании двух алгоритмов) и $k_1+k_2+k_3=9$ при использовании одного алгоритма.
По условию все вершины должны находится с помощью одного алгоритма. Значит, оставляем $k_1+k_2+k_3=9$ .
Теперь надо предложить "алгоритм" (способ) вписать треугольник в разносторонний треугольник за количество шагов не более $9$ (интересно, возможно ли за меньшее количество шагов).
1). "Алгоритм" должен быть однозначным (т.е. при его использовании можно вписать только один треугольник)
2). Любые два "алгоритма" должны иметь пустое пересечение (т. е. не должны совпадать).
Разрешённые операции: проведение окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки.

Ранее приведённые примеры не удовлетворяют требуемым условиям (правда, пример с симедианами ещё не разбирала (экзотические примеры лучше приводить подробнее, если они удовлетворяют требуемым условиям).

-- 06.05.2021, 17:37 --

arseniiv в сообщении #1516978 писал(а):

А сама эта цель чем-то рождена?

Да.

wrest · 05/09/16 12066

Пересечение серединного перпендикуляра с другой стороной. Существует для всех треугольников кроме прямоугольных (в случае прямоугольного исходного, порожденный треугольник -- вырожденный).

9 шагов и всё однозначно, но

(Оффтоп)

чует мое сердце, "алгоритм" будет не удовлетворять каким-то условиям. Кроме того, тут мы за те же шаги бонусом получаем ещё и "медианный" треугольник.

TR63 · 03/03/12 1380

wrest в сообщении #1517195 писал(а):

Существует для всех треугольников кроме прямоугольных (в случае прямоугольного исходного, порожденный треугольник -- вырожденный).

Это допустимо.

wrest в сообщении #1517195 писал(а):

"алгоритм" будет не удовлетворять каким-то условиям.

Да, не удовлетворяет определению вписанного треугольника. Треугольник, вписанный в треугольник, должен касаться каждой стороны треугольника только в одной точке. (Если точек касания с одной из сторон более одной, то это соприкасающиеся треугольники.)
(Возможно есть другое определение, но я подразумеваю такое.)

wrest в сообщении #1517195 писал(а):

Кроме того, тут мы за те же шаги бонусом получаем ещё и "медианный" треугольник.

Медианный треугольник Вашим методом получается, если исходный равнобедренный. Но по условию рассматриваются разносторонние треугольники.

wrest · 05/09/16 12066

TR63 в сообщении #1517210 писал(а):

Медианный треугольник Вашим методом получается, если исходный равнобедренный.

Вы хотя бы приправляли "мне кажется что" и т.п. ибо ваша безапеляционность поражает просто. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны, верно? То есть -- через место пересечения медианой соответственной стороны, верно? Отмечание точек пересечения двух прямых (и вообще любых точек пересечения на уже построенных линиях) это ноль операций, верно? И? Как вообще вы строите медиану вашим методом, уж не проведением ли серединного перпендикуляра к каждой из сторон?

arseniiv · 27/04/09 28128

TR63 в сообщении #1517169 писал(а):

Да.

Ну расскажите же, если не секрет. Вдруг этот путь совсем не тот.

manul91 · 24/08/12 1053

TR63 в сообщении #1517210 писал(а):

Но по условию рассматриваются разносторонние треугольники.

Исходный треугольник разносторонный, значит существует наименьшая сторона (обозначим ее АB).
Ставим циркуль на центр в т. А, и радиусом AB чертаем окружность О1, она пересекает АС в т. М. Это одна операция.
Потом ставим циркуль в т.B и тем же радиусом AB чертаем окружность О2, находя т. N лежащей на BC. (Итого BN=AM=AB). Это еще одна операция.
Окружности О1 и О2, также у нас попутно пересеклись в точек Q1 и Q2 (так что тут ноль операций, этих точек мы уже нашли). Пересечение Q1Q2 и AB дает серединную точку P отрезка АB. Еще одна операция.
Итого, только тремя операциями - однозначно построен "вписанный" треугольник МNP.
Его можно охарактеризовать как "треугольник у которого одна вершина в серединной точки наименьшей стороны исходного, а другие две вершины лежат на других двух сторон исходного и отстоят от вершин наименьшей стороны исходного на ее же длиной".
Этот вписанный треугольник единственный для любого (разносторонного) исходного треугольника, т.е. алгоритм совершенно однозначен (и в нем не входит никакого "внешнего" произвола или выбора, вписанный треугольник определяется только исходным треугольником и больше ничем).
Если считать, что "сначала нужно найти наименьшую сторону" - это еще не более чем три операций (попарно сравниваем циркулем все три стороны) - так что итого суммарно понадобятся не более чем шесть операций (можно и меньше конечно, если повезло и оказалось что при сравнении попутно построили одну из окружностей O1 или O2; или сравнение только двух пар сторон оказалось достаточным) .

Какими "условиями" теперь не удовлетворяет этот алгоритм, и почему? : )

TR63 · 03/03/12 1380

wrest в сообщении #1517233 писал(а):

Вы хотя бы приправляли "мне кажется что"

wrest, Вы правы: показалось.

wrest, но треугольник, вписанный Вашим методом, не удовлетворяет определению вписанного треугольника (я его немного уточнила):

TR63 в сообщении #1517210 писал(а):

Треугольник, вписанный в треугольник, должен касаться
прямой, проходящей через две вершины исходного треугольника (или стороны треугольника), только в одной точке.

Согласны? (Получается проблема с тупоугольными треугольниками, но это можно обсудить отдельно: то ли исключить их, то ли допустить, считая "алгоритм" пустым.)

manul91, у Вас точки $(A;B)$ находятся одним "алгоритмом": пересечение окружности радиуса наименьшей стороны с одной из сторон. Значит и третья вершина должна по условию находится таким же "алгоритмом". У Вас она находится пересечением двух окружностей (неважно, что автоматом; важен факт, что находится другим "алгоритмом"). Пересечение двух окружностей и пересечение окружности с прямой это разные " алгоритмы. Кроме того, для нахождения наименьшей стороны надо посчитать шаги. Но это уже не столь важно. Это моё мнение. Если не согласны, оспорьте.

arseniiv в сообщении #1517270 писал(а):

Ну расскажите же, если не секрет

Меня интересует, собственно, другая задача. Сейчас я исследую свойства последовательности {(биссектральные треугольники); (высотные треугольники); (медианные треугольники)}, поскольку она фигурирует в той задаче. О ней расскажу позже (возможно через несколько дней; сейчас цейтнот).

wrest · 05/09/16 12066