2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение26.04.2021, 21:44 


21/04/19
1184
Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$ имеют одну и ту же матрицу в разных базисах.

Есть ли еще разные тензоры, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение26.04.2021, 22:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):
Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$
Так это одно и то же, если линейный оператор считать тензором (можно вполне последовательно различать $\mathcal L(V, W)$ и $V^* \otimes W$ и явно упоминать канонические изоморфизмы в обе стороны ровно так же как нам в общем случае не стоит неявно смешивать $V^* \otimes W$ и $W \otimes V^*$). А если не считать, то это уже не различные тензоры с тем же набором координат.

-- Вт апр 27, 2021 00:51:25 --

Вообще же всевозможные произведения $V$ и $V^*$ из одного и того же числа множителей все будут иметь преобразования координат из базиса в базис, отличные от других таких произведений. Если нам важен порядок индексов, то безусловно, а если не важен, то с точностью до перестановки множителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 01:10 


21/04/19
1184
arseniiv в сообщении #1515764 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):
Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$
Так это одно и то же, если линейный оператор считать тензором

Если тензор это матрица, которая изменяется при переходе к другому базису (есть такая точка зрения), то линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$ это не тензоры, а объекты, которые используют тензор -- один и тот же, причем по-разному [линейный оператор отображает вектор в вектор, билинейная функция $(1, 1)$ -- вектор и ковектор в скаляр.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 02:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Когда тензоры (не от хорошей жизни) определяют как наборы координат, преобразующиеся при смене базиса специальным образом, то обычно одновременно с этим не оперируют билинейными функциями и прочим, или определяют их через такие тензоры; но опять же при таком определении тензора у вас будет только один вид тензоров, преобразующихся каждым образом, и вопрос снова разваливается.

Вообще можно наделать бесконечное число «дефинитивно различных» объектов, натурально изоморфных тензорам какого-то типа: достаточно например плодить звёздочки $V \cong V^{**}$, пользоваться сопряжением $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$, использовать моноидальную структуру тензорного умножения $(U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W)$, $V \otimes K \cong K \otimes V \cong V$, $V \otimes W \cong W \otimes V$, и может ещё что-то упустил. Ну и толку?

Если вычеркнуть выше коммутативность, то у нас всегда будет между любыми двумя такими объектами единственный естественный изоморфизм, когда есть хоть один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 02:40 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):
Есть ли еще разные тензоры, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах?
Оставим пока в стороне обсуждение того факта, что линейный оператор --- это тензор типа $(1,1)$. Вопрос тогда таков: каковы линейные операторы, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах ? Ответ: только единичный оператор (и пропорциональные ему). Действительно, если оператор ${\mathcal A}$ имеет в некотором базисе матрицу $A$, и $S$ есть некоторая невырожденная матрица, тогда, как следует из правила преобразования матрицы оператора при переходе к другому базису, существует базис, в котором ${\mathcal A}$ имеет матрицу $SAS^{-1}$. Поэтому вопрос сводится к такому: каковы те матрицы $A$, для которых $SAS^{-1}=A$ для любой невырожденной матрицы $S$ ? То есть (если записать соотношение $SAS^{-1}=A$ в эквивалентной форме $SA=AS$), каковы матрицы, коммутирующие с любой невырожденной ? Несложное упражнение --- показать, что такова только единичная матрица (и пропорциональные ей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 08:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я так понял, ТС имел в виду не сохранение матрицы при переходе в другой базис (это хотя бы полезная задача), а одинаковость матриц наборов координат двух («)разных(») тензоров в каждом базисе, в котором мы эти наборы захотим рассматреть. И тут получается, что вопрос либо сам свои предположения опровергает ответом, либо они вообще бессмысленны (и если мы начнём звать тензорами все подряд штуки, получающиеся взятием тензорных произведений и $\mathcal L$ от пространств; или возможно сопряжений вместо $\mathcal L$, если мы заранее условились, что $\mathcal L(V, W)$ отождествляется ровно с $V^* \otimes W$ или ровно с $W \otimes V^*$ и само по себе упоминанию больше не подлежит).

Так что я не понял, что этот вопрос имеет целью открыть; я бы даже сказал, что у него проблемы с несоответствием уровней собственно спрашиваемого и его пресуппозиций: если мы знаем, что линейные операторы и тензоры типа (1, 1) ведут себя одинаково практически во всех отношениях, то наверно уж мы знаем, что можно навертеть ещё подобных же пространств, формально не тождественных этим двум? А если нет, то… ну, не знаю даже. Потому и непонятен вопрос. Если конечно я его правильно распарсил, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 15:43 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Да, я неправильно понял вопрос ТС. Заскок случился (у меня).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 20:19 


21/04/19
1184
arseniiv в сообщении #1515776 писал(а):
Вообще можно наделать бесконечное число «дефинитивно различных» объектов, натурально изоморфных тензорам какого-то типа: достаточно например плодить звёздочки $V \cong V^{**}$, пользоваться сопряжением $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$, использовать моноидальную структуру тензорного умножения $(U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W)$, $V \otimes K \cong K \otimes V \cong V$, $V \otimes W \cong W \otimes V$, и может ещё что-то упустил. Ну и толку?

Если вычеркнуть выше коммутативность, то у нас всегда будет между любыми двумя такими объектами единственный естественный изоморфизм, когда есть хоть один.

Должен признаться, что мало что понимаю здесь, не хватает знаний. Я попытался разобраться с тем, что такое тензорное произведение -- простая вещь, как мне казалось, -- но в учебниках (Гельфанд, Винберг) пишут так, как будто нарочно стараются, чтобы нельзя было понять. То есть, по-моему, пишут слишком общо.

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):
Я так понял, ТС имел в виду не сохранение матрицы при переходе в другой базис

Нет, я имел в виду не это. А это, вообще, возможно -- сохранение матрицы при переходе в другой базис (кроме символа Кронекера)?

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):
а одинаковость матриц наборов координат двух («)разных(») тензоров в каждом базисе, в котором мы эти наборы захотим рассмотреть.

Да, я имел в виду именно это.

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):
линейные операторы и тензоры типа (1, 1) ведут себя одинаково практически во всех отношениях

Во всяком случае не в отношении их воздействия на другие объекты: линейный оператор отображает вектор в вектор, билинейная функция $(1, 1)$ -- вектор и ковектор в скаляр.

При этом они имеют одну и ту же матрицу -- буду так говорить для краткости, имея в виду что, если и линейный оператор, и билинейная функция $(1, 1)$ в базисе $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots, \textbf e_n$ имели одну и ту же матрицу $A$, то при переходе к другому базису $\textbf e'_1, \textbf e'_2, \ldots, \textbf e'_n$ они оба имеют одну и ту же матрицу $A'$.

Если к тому же считать их тензорами, то мой вопрос: есть ли еще тензоры, разные по воздействию на другие объекты и при этом имеющие одну и ту же матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение27.04.2021, 20:50 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):
А это, вообще, возможно -- сохранение матрицы при переходе в другой базис (кроме символа Кронекера)?
Как vpb говорит, только для скалярных кратных тождественного оператора и всё.

Ну может быть в линейной алгебре над кольцами бывает что-то хитрое, но вы в любом случае пока вроде заинтересованы вещественной (и комплексной?), а над полями только так просто.

Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):
Я попытался разобраться с тем, что такое тензорное произведение -- простая вещь, как мне казалось, -- но в учебниках (Гельфанд, Винберг) пишут так, как будто нарочно стараются, чтобы нельзя было понять. То есть, по-моему, пишут слишком общо.
От тензорного произведения нам нужна лишь одна довольно простая вещь, но её аккуратное выражение может быть довольно непонятно на первый взгляд. Нам надо, чтобы любую $k$-линейную функцию $F$ из $V_1 \times \ldots \times V_k$ в $W$ мы могли получить, скомпозировав некоторую линейную функцию от некоторой штуки $V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$ в $W$ и одну на все случаи жизни $k$-линейную функцию $V_1 \times \ldots \times V_k \ni (v_1, \ldots, v_k) \mapsto v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$. Такая функция, тензорное произведение векторов — и её образ, тензорное произведение самих пространств — должны определяться только набором $(V_1, \ldots, V_k)$ и ничем больше. Она определена с точностью до единственного изоморфизма — нам важно, что делает $\otimes$ на элементах, а не как там было построено множество значений этой операции.

Все конкретные конструкции тензорного произведения — это лишь в принципе просто доказательства того, что такие функция и пространство существуют (для любого $(V_1, \ldots, V_k)$). Они могут казаться иногда проще, но они не заменяют это универсальное свойство. Наоборот, если привести лишь конкретную конструкцию, можно запутать. Хотя конструкция с полилинейными формами вроде должна быть достаточно прозрачной например.

Эта история аналогична декартову произведению и дизъюнктному объединению множеств: от них нам тоже нужны на деле только универсальные свойства, а не конкретные конструкции упорядоченных пар и других кортежей в терминах какой-нибудь теории множеств — они просто показывают, что та теория множеств позволяет их выразить без нужды их добавлять туда отдельно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):
Если к тому же считать их тензорами, то мой вопрос: есть ли еще тензоры, разные по воздействию на другие объекты и при этом имеющие одну и ту же матрицу?
Да, вот ваши два примера, если говорить о пространствах целиком (раз мы говорим о произвольном элементе и его координатах в произвольном базисе или базисах) это $\mathcal L(V, V)$ и $V^* \otimes V$. Применяя те изоморфизмы, что я показывал выше, можно наделать кучу таких вещей: $(V \otimes V^*)^*$, $V^{******} \otimes K \otimes V^{***}$, $\mathcal L(V^*, \mathcal(K, V^{**}))$… ($K$ — поле скаляров).

-- Вт апр 27, 2021 22:59:45 --

(Оффтоп)

Разница только, что я сначала сразу писал о произвольных линейных отображениях и пр., беря разные пространства. По мне так честнее для общего рассмотрения. Потом всегда можно позаменять все те разные пространства на одно и то же, если так надо. Многие результаты выглядят понятнее, например $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$ против $\mathcal L(V, V) \cong \mathcal L(V^*, V^*)$ (если добавить немного контекста, первое станет куда лучше).

arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):
и $V^* \otimes V$
На самом деле конечно считать ли тензоры типа (1, 1) ровно тем же самым, что и билинейные функции от вектора и ковектора в скаляры (обозначим их допустим $\mathcal L(V, V^*; K)$ если понадобится потом) или считать чем-то другим, универсальное свойство говорит на этот счёт «не полагайтесь и используйте изоморфизм по возможности явно и лишь по надобности». Так как разные явные конструкции дадут разное. Там может получиться перевёрнутый порядок аргументов у билинейной функции, мало ли, и тогда мы говорим уже не про $V^* \otimes V$, а про $V \otimes V^*$!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение28.04.2021, 14:00 


21/04/19
1184
arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):
Хотя конструкция с полилинейными формами вроде должна быть достаточно прозрачной например.

Спасибо, Вы навели меня на некоторые соображения, и именно о полилинейных формах, теперь мне надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение03.05.2021, 00:56 


21/04/19
1184
arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):
От тензорного произведения нам нужна лишь одна довольно простая вещь, но её аккуратное выражение может быть довольно непонятно на первый взгляд. Нам надо, чтобы любую $k$-линейную функцию $F$ из $V_1 \times \ldots \times V_k$ в $W$ мы могли получить, скомпозировав некоторую линейную функцию от некоторой штуки $V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$ в $W$ и одну на все случаи жизни $k$-линейную функцию $V_1 \times \ldots \times V_k \ni (v_1, \ldots, v_k) \mapsto v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$. Такая функция, тензорное произведение векторов — и её образ, тензорное произведение самих пространств — должны определяться только набором $(V_1, \ldots, V_k)$ и ничем больше. Она определена с точностью до единственного изоморфизма — нам важно, что делает $\otimes$ на элементах, а не как там было построено множество значений этой операции.

Мне кажется, я наконец это понял (кроме одного: почему Вы называете "тензорное произведение самих пространств" образом тензорного произведения векторов, разве этим образом не является пространство $W$?).

По-другому это выражено здесь:

Цитата:
Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$ и билинейного отображения $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ существует единственное линейное отображение $f:A\otimes B\to C$ такое, что

$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes $,

где $\circ $ обозначает композицию функций. Википедия.


$$\otimes: A\times B\to A\otimes B,$$
$$ f:A\otimes B\to C,$$
$$\otimes ^{\prime }:A\times B\to C,$$
то есть $A\times B\to A\otimes B, \; A\otimes B\to C\Rightarrow A\times B\to C.$

1. Что касается $\otimes:A\times B\to A\otimes B$, то это построение билинейных функций из всех пар векторов по одному от каждого пространства $A, B$.

2. Относительно $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ в https://scask.ru/d_book_alg.php?id=28 сказано:

Цитата:
сначала нужно из каждой пары $(\textbf x, \textbf y)$ построить произведение $\textbf t=\textbf x\otimes \textbf y$ и затем линейно отобразить пространство $\mathfrak T$ двухвалентных тензоров в пространство $\mathfrak N.$


То есть непосредственно отобразить $A\times B$ в $C$ невозможно, только через $\otimes:A\times B\to A\otimes B$ и $f:A\otimes B\to C$.

3. $f:A\otimes B\to C$ значит, что линейное пространство $\mathfrak T$ полученных билинейных функций отображается в другое линейное пространство $C$, и в связи с этим у меня 3 вопроса:

а) значит, $f$ это линейный оператор?

б) если да, то может ли он быть вырожденным?

в) при отображении пространства $\mathfrak T$ билинейных функций в пространство $C$ сохраняется ли природа векторов пространства $\mathfrak T$, то есть остаются ли они билинейными функциями также и пространстве $C$?

[Кстати, размерность линейного пространства тензоров равна числу элементов в их матрицах; эти элементы можно расположить в линию, тогда координаты тензора -- как вектора -- предстанут в более привычном (например, для меня) виде. И, вообще, теперь мне понятно выражение "координаты тензора", -- это его координаты в линейном пространстве, элементом которого он является. Правильно?]

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение04.05.2021, 19:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Vladimir Pliassov в сообщении #1516511 писал(а):
Мне кажется, я наконец это понял (кроме одного: почему Вы называете "тензорное произведение самих пространств" образом тензорного произведения векторов, разве этим образом не является пространство $W$?).
Не, у нас отдельно полилинейная операция $\otimes$, действующая из (обычного) произведения пространств в тензорное произведение пространств, и отдельно интересующая нас в каждом случае своя линейная операция из тензорного произведения в $W$, единственная соответствующая по универсальному свойству полилинейной операции из (обычного) произведения пространств в $W$. И да, я опустил часть про то, что два любые тензорные произведения факторизуются друг через друга. То есть любые два разных спсособа составить тензорное произведение имеют между собой единственный изоморфизм; иначе говоря тензорное произведение единственно с точностью до единственного изоморфизма. Это же самое можно сказать про определение поля $\mathbb R$ как наибольшего архимедова упорядоченного поля: мы можем накопировать таких полей сколько угодно, но для каждой их пары у нас будет ровно один изоморфизм полей (или колец с единицей, или упорядоченных полей и т. п., главное не слишком общую структуру выбрать) из одного в другое.

Vladimir Pliassov в сообщении #1516511 писал(а):
[Кстати, размерность линейного пространства тензоров равна числу элементов в их матрицах; эти элементы можно расположить в линию, тогда координаты тензора -- как вектора -- предстанут в более привычном (например, для меня) виде. И, вообще, теперь мне понятно выражение "координаты тензора", -- это его координаты в линейном пространстве, элементом которого он является. Правильно?]
Да, координаты можно упорядочить, упорядочив их индексы лексикографически или как-то ещё. Вообще координаты векторов в пространстве в общем случае не обязательно считать упорядоченными — они естественно индексируется самим базисом, который при этом оказывается ненужным упорядочивать и сам. То есть например у нас пространство $V$ над $K$ с базисом $B = \{\mathbf e_1, \mathbf e_2\}$ и вектор $\mathbf v = x_1 \mathbf e_1 + x_2 \mathbf e_2$, и координатами $\mathbf v$ будет функция $c \colon B \to K$, переводящая $\mathbf e_1 \mapsto x_1, \mathbf e_2 \mapsto x_2$. Такая функция — это обобщение столбца координат, множество таких функций даже часто будут обозначать $K^B$. Почти то же что столбцы $K^{|B|}$, но для последнего придётся упорядочивать базис, а всё ради временных удобств.

Такие представления координат очень хорошо себя ведут, когда мы берём сумму пространств или тензорное произведение — так как нет никакого порядка, есть один единственный способ пронумеровать координаты: если координаты для $V_1$ нумеруются базисом $B_1$, а координаты для $V_2$ базисом $B_2$, то координаты для $V_1 \oplus V_2$ нумеруются базисом $B_1 \sqcup B_2$ (объединение дизъюнктное на случай если $V_1 \equiv V_2$), а координаты для $V_1 \otimes V_2$ нумеруются базисом $B_1 \times B_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные тензоры с той же матрицей
Сообщение06.05.2021, 17:41 


21/04/19
1184
Спасибо! Я нашел, по-моему, очень хорошее пособие об этом -- https://ium.mccme.ru/postscript/f14/alg ... -total.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group