Разные тензоры с той же матрицей

[Vladimir Pliassov]

Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$ имеют одну и ту же матрицу в разных базисах.

Есть ли еще разные тензоры, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах?

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):

Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$

Так это одно и то же, если линейный оператор считать тензором (можно вполне последовательно различать $\mathcal L(V, W)$ и $V^* \otimes W$ и явно упоминать канонические изоморфизмы в обе стороны ровно так же как нам в общем случае не стоит неявно смешивать $V^* \otimes W$ и $W \otimes V^*$). А если не считать, то это уже не различные тензоры с тем же набором координат.

-- Вт апр 27, 2021 00:51:25 --

Вообще же всевозможные произведения $V$ и $V^*$ из одного и того же числа множителей все будут иметь преобразования координат из базиса в базис, отличные от других таких произведений. Если нам важен порядок индексов, то безусловно, а если не важен, то с точностью до перестановки множителей.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1515764 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):

Линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$

Так это одно и то же, если линейный оператор считать тензором

Если тензор это матрица, которая изменяется при переходе к другому базису (есть такая точка зрения), то линейный оператор и билинейная функция $(1, 1)$ это не тензоры, а объекты, которые используют тензор -- один и тот же, причем по-разному [линейный оператор отображает вектор в вектор, билинейная функция $(1, 1)$ -- вектор и ковектор в скаляр.]

[arseniiv]

Когда тензоры (не от хорошей жизни) определяют как наборы координат, преобразующиеся при смене базиса специальным образом, то обычно одновременно с этим не оперируют билинейными функциями и прочим, или определяют их через такие тензоры; но опять же при таком определении тензора у вас будет только один вид тензоров, преобразующихся каждым образом, и вопрос снова разваливается.

Вообще можно наделать бесконечное число «дефинитивно различных» объектов, натурально изоморфных тензорам какого-то типа: достаточно например плодить звёздочки $V \cong V^{**}$, пользоваться сопряжением $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$, использовать моноидальную структуру тензорного умножения $(U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W)$, $V \otimes K \cong K \otimes V \cong V$, $V \otimes W \cong W \otimes V$, и может ещё что-то упустил. Ну и толку?

Если вычеркнуть выше коммутативность, то у нас всегда будет между любыми двумя такими объектами единственный естественный изоморфизм, когда есть хоть один.

[vpb]

Vladimir Pliassov в сообщении #1515753 писал(а):

Есть ли еще разные тензоры, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах?

Оставим пока в стороне обсуждение того факта, что линейный оператор --- это тензор типа $(1,1)$. Вопрос тогда таков: каковы линейные операторы, имеющие одну и ту же матрицу в разных базисах ? Ответ: только единичный оператор (и пропорциональные ему). Действительно, если оператор ${\mathcal A}$ имеет в некотором базисе матрицу $A$, и $S$ есть некоторая невырожденная матрица, тогда, как следует из правила преобразования матрицы оператора при переходе к другому базису, существует базис, в котором ${\mathcal A}$ имеет матрицу $SAS^{-1}$. Поэтому вопрос сводится к такому: каковы те матрицы $A$, для которых $SAS^{-1}=A$ для любой невырожденной матрицы $S$ ? То есть (если записать соотношение $SAS^{-1}=A$ в эквивалентной форме $SA=AS$), каковы матрицы, коммутирующие с любой невырожденной ? Несложное упражнение --- показать, что такова только единичная матрица (и пропорциональные ей).

[arseniiv]

Я так понял, ТС имел в виду не сохранение матрицы при переходе в другой базис (это хотя бы полезная задача), а одинаковость матриц наборов координат двух («)разных(») тензоров в каждом базисе, в котором мы эти наборы захотим рассматреть. И тут получается, что вопрос либо сам свои предположения опровергает ответом, либо они вообще бессмысленны (и если мы начнём звать тензорами все подряд штуки, получающиеся взятием тензорных произведений и $\mathcal L$ от пространств; или возможно сопряжений вместо $\mathcal L$, если мы заранее условились, что $\mathcal L(V, W)$ отождествляется ровно с $V^* \otimes W$ или ровно с $W \otimes V^*$ и само по себе упоминанию больше не подлежит).

Так что я не понял, что этот вопрос имеет целью открыть; я бы даже сказал, что у него проблемы с несоответствием уровней собственно спрашиваемого и его пресуппозиций: если мы знаем, что линейные операторы и тензоры типа (1, 1) ведут себя одинаково практически во всех отношениях, то наверно уж мы знаем, что можно навертеть ещё подобных же пространств, формально не тождественных этим двум? А если нет, то… ну, не знаю даже. Потому и непонятен вопрос. Если конечно я его правильно распарсил, действительно.

[vpb]

Да, я неправильно понял вопрос ТС. Заскок случился (у меня).

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1515776 писал(а):

Вообще можно наделать бесконечное число «дефинитивно различных» объектов, натурально изоморфных тензорам какого-то типа: достаточно например плодить звёздочки $V \cong V^{**}$, пользоваться сопряжением $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$, использовать моноидальную структуру тензорного умножения $(U \otimes V) \otimes W \cong U \otimes (V \otimes W)$, $V \otimes K \cong K \otimes V \cong V$, $V \otimes W \cong W \otimes V$, и может ещё что-то упустил. Ну и толку?

Если вычеркнуть выше коммутативность, то у нас всегда будет между любыми двумя такими объектами единственный естественный изоморфизм, когда есть хоть один.

Должен признаться, что мало что понимаю здесь, не хватает знаний. Я попытался разобраться с тем, что такое тензорное произведение -- простая вещь, как мне казалось, -- но в учебниках (Гельфанд, Винберг) пишут так, как будто нарочно стараются, чтобы нельзя было понять. То есть, по-моему, пишут слишком общо.

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):

Я так понял, ТС имел в виду не сохранение матрицы при переходе в другой базис

Нет, я имел в виду не это. А это, вообще, возможно -- сохранение матрицы при переходе в другой базис (кроме символа Кронекера)?

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):

а одинаковость матриц наборов координат двух («)разных(») тензоров в каждом базисе, в котором мы эти наборы захотим рассмотреть.

Да, я имел в виду именно это.

arseniiv в сообщении #1515788 писал(а):

линейные операторы и тензоры типа (1, 1) ведут себя одинаково практически во всех отношениях

Во всяком случае не в отношении их воздействия на другие объекты: линейный оператор отображает вектор в вектор, билинейная функция $(1, 1)$ -- вектор и ковектор в скаляр.

При этом они имеют одну и ту же матрицу -- буду так говорить для краткости, имея в виду что, если и линейный оператор, и билинейная функция $(1, 1)$ в базисе $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots, \textbf e_n$ имели одну и ту же матрицу $A$, то при переходе к другому базису $\textbf e'_1, \textbf e'_2, \ldots, \textbf e'_n$ они оба имеют одну и ту же матрицу $A'$.

Если к тому же считать их тензорами, то мой вопрос: есть ли еще тензоры, разные по воздействию на другие объекты и при этом имеющие одну и ту же матрицу?

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):

А это, вообще, возможно -- сохранение матрицы при переходе в другой базис (кроме символа Кронекера)?

Как vpb говорит, только для скалярных кратных тождественного оператора и всё.

Ну может быть в линейной алгебре над кольцами бывает что-то хитрое, но вы в любом случае пока вроде заинтересованы вещественной (и комплексной?), а над полями только так просто.

Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):

Я попытался разобраться с тем, что такое тензорное произведение -- простая вещь, как мне казалось, -- но в учебниках (Гельфанд, Винберг) пишут так, как будто нарочно стараются, чтобы нельзя было понять. То есть, по-моему, пишут слишком общо.

От тензорного произведения нам нужна лишь одна довольно простая вещь, но её аккуратное выражение может быть довольно непонятно на первый взгляд. Нам надо, чтобы любую $k$-линейную функцию $F$ из $V_1 \times \ldots \times V_k$ в $W$ мы могли получить, скомпозировав некоторую линейную функцию от некоторой штуки $V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$ в $W$ и одну на все случаи жизни $k$-линейную функцию $V_1 \times \ldots \times V_k \ni (v_1, \ldots, v_k) \mapsto v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$. Такая функция, тензорное произведение векторов — и её образ, тензорное произведение самих пространств — должны определяться только набором $(V_1, \ldots, V_k)$ и ничем больше. Она определена с точностью до единственного изоморфизма — нам важно, что делает $\otimes$ на элементах, а не как там было построено множество значений этой операции.

Все конкретные конструкции тензорного произведения — это лишь в принципе просто доказательства того, что такие функция и пространство существуют (для любого $(V_1, \ldots, V_k)$). Они могут казаться иногда проще, но они не заменяют это универсальное свойство. Наоборот, если привести лишь конкретную конструкцию, можно запутать. Хотя конструкция с полилинейными формами вроде должна быть достаточно прозрачной например.

Эта история аналогична декартову произведению и дизъюнктному объединению множеств: от них нам тоже нужны на деле только универсальные свойства, а не конкретные конструкции упорядоченных пар и других кортежей в терминах какой-нибудь теории множеств — они просто показывают, что та теория множеств позволяет их выразить без нужды их добавлять туда отдельно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1515857 писал(а):

Если к тому же считать их тензорами, то мой вопрос: есть ли еще тензоры, разные по воздействию на другие объекты и при этом имеющие одну и ту же матрицу?

Да, вот ваши два примера, если говорить о пространствах целиком (раз мы говорим о произвольном элементе и его координатах в произвольном базисе или базисах) это $\mathcal L(V, V)$ и $V^* \otimes V$. Применяя те изоморфизмы, что я показывал выше, можно наделать кучу таких вещей: $(V \otimes V^*)^*$, $V^{******} \otimes K \otimes V^{***}$, $\mathcal L(V^*, \mathcal(K, V^{**}))$… ($K$ — поле скаляров).

-- Вт апр 27, 2021 22:59:45 --

(Оффтоп)

Разница только, что я сначала сразу писал о произвольных линейных отображениях и пр., беря разные пространства. По мне так честнее для общего рассмотрения. Потом всегда можно позаменять все те разные пространства на одно и то же, если так надо. Многие результаты выглядят понятнее, например $\mathcal L(V, W) \cong \mathcal L(W^*, V^*)$ против $\mathcal L(V, V) \cong \mathcal L(V^*, V^*)$ (если добавить немного контекста, первое станет куда лучше).

arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):

и $V^* \otimes V$

На самом деле конечно считать ли тензоры типа (1, 1) ровно тем же самым, что и билинейные функции от вектора и ковектора в скаляры (обозначим их допустим $\mathcal L(V, V^*; K)$ если понадобится потом) или считать чем-то другим, универсальное свойство говорит на этот счёт «не полагайтесь и используйте изоморфизм по возможности явно и лишь по надобности». Так как разные явные конструкции дадут разное. Там может получиться перевёрнутый порядок аргументов у билинейной функции, мало ли, и тогда мы говорим уже не про $V^* \otimes V$, а про $V \otimes V^*$!

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):

Хотя конструкция с полилинейными формами вроде должна быть достаточно прозрачной например.

Спасибо, Вы навели меня на некоторые соображения, и именно о полилинейных формах, теперь мне надо подумать.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1515859 писал(а):

От тензорного произведения нам нужна лишь одна довольно простая вещь, но её аккуратное выражение может быть довольно непонятно на первый взгляд. Нам надо, чтобы любую $k$-линейную функцию $F$ из $V_1 \times \ldots \times V_k$ в $W$ мы могли получить, скомпозировав некоторую линейную функцию от некоторой штуки $V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$ в $W$ и одну на все случаи жизни $k$-линейную функцию $V_1 \times \ldots \times V_k \ni (v_1, \ldots, v_k) \mapsto v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in V_1 \otimes \ldots \otimes V_k$. Такая функция, тензорное произведение векторов — и её образ, тензорное произведение самих пространств — должны определяться только набором $(V_1, \ldots, V_k)$ и ничем больше. Она определена с точностью до единственного изоморфизма — нам важно, что делает $\otimes$ на элементах, а не как там было построено множество значений этой операции.

Мне кажется, я наконец это понял (кроме одного: почему Вы называете "тензорное произведение самих пространств" образом тензорного произведения векторов, разве этим образом не является пространство $W$?).

По-другому это выражено здесь:

Цитата:

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$ и билинейного отображения $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ существует единственное линейное отображение $f:A\otimes B\to C$ такое, что

$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes $,

где $\circ $ обозначает композицию функций. Википедия.

$$\otimes: A\times B\to A\otimes B,$$

$$ f:A\otimes B\to C,$$

$$\otimes ^{\prime }:A\times B\to C,$$

то есть $A\times B\to A\otimes B, \; A\otimes B\to C\Rightarrow A\times B\to C.$

1. Что касается $\otimes:A\times B\to A\otimes B$, то это построение билинейных функций из всех пар векторов по одному от каждого пространства $A, B$.

2. Относительно $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ в https://scask.ru/d_book_alg.php?id=28 сказано:

Цитата:

сначала нужно из каждой пары $(\textbf x, \textbf y)$ построить произведение $\textbf t=\textbf x\otimes \textbf y$ и затем линейно отобразить пространство $\mathfrak T$ двухвалентных тензоров в пространство $\mathfrak N.$

То есть непосредственно отобразить $A\times B$ в $C$ невозможно, только через $\otimes:A\times B\to A\otimes B$ и $f:A\otimes B\to C$.

3. $f:A\otimes B\to C$ значит, что линейное пространство $\mathfrak T$ полученных билинейных функций отображается в другое линейное пространство $C$, и в связи с этим у меня 3 вопроса:

а) значит, $f$ это линейный оператор?

б) если да, то может ли он быть вырожденным?

в) при отображении пространства $\mathfrak T$ билинейных функций в пространство $C$ сохраняется ли природа векторов пространства $\mathfrak T$, то есть остаются ли они билинейными функциями также и пространстве $C$?

[Кстати, размерность линейного пространства тензоров равна числу элементов в их матрицах; эти элементы можно расположить в линию, тогда координаты тензора -- как вектора -- предстанут в более привычном (например, для меня) виде. И, вообще, теперь мне понятно выражение "координаты тензора", -- это его координаты в линейном пространстве, элементом которого он является. Правильно?]

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1516511 писал(а):

Мне кажется, я наконец это понял (кроме одного: почему Вы называете "тензорное произведение самих пространств" образом тензорного произведения векторов, разве этим образом не является пространство $W$?).

Не, у нас отдельно полилинейная операция $\otimes$, действующая из (обычного) произведения пространств в тензорное произведение пространств, и отдельно интересующая нас в каждом случае своя линейная операция из тензорного произведения в $W$, единственная соответствующая по универсальному свойству полилинейной операции из (обычного) произведения пространств в $W$. И да, я опустил часть про то, что два любые тензорные произведения факторизуются друг через друга. То есть любые два разных спсособа составить тензорное произведение имеют между собой единственный изоморфизм; иначе говоря тензорное произведение единственно с точностью до единственного изоморфизма. Это же самое можно сказать про определение поля $\mathbb R$ как наибольшего архимедова упорядоченного поля: мы можем накопировать таких полей сколько угодно, но для каждой их пары у нас будет ровно один изоморфизм полей (или колец с единицей, или упорядоченных полей и т. п., главное не слишком общую структуру выбрать) из одного в другое.

Vladimir Pliassov в сообщении #1516511 писал(а):

[Кстати, размерность линейного пространства тензоров равна числу элементов в их матрицах; эти элементы можно расположить в линию, тогда координаты тензора -- как вектора -- предстанут в более привычном (например, для меня) виде. И, вообще, теперь мне понятно выражение "координаты тензора", -- это его координаты в линейном пространстве, элементом которого он является. Правильно?]

Да, координаты можно упорядочить, упорядочив их индексы лексикографически или как-то ещё. Вообще координаты векторов в пространстве в общем случае не обязательно считать упорядоченными — они естественно индексируется самим базисом, который при этом оказывается ненужным упорядочивать и сам. То есть например у нас пространство $V$ над $K$ с базисом $B = \{\mathbf e_1, \mathbf e_2\}$ и вектор $\mathbf v = x_1 \mathbf e_1 + x_2 \mathbf e_2$, и координатами $\mathbf v$ будет функция $c \colon B \to K$, переводящая $\mathbf e_1 \mapsto x_1, \mathbf e_2 \mapsto x_2$. Такая функция — это обобщение столбца координат, множество таких функций даже часто будут обозначать $K^B$. Почти то же что столбцы $K^{|B|}$, но для последнего придётся упорядочивать базис, а всё ради временных удобств.

Такие представления координат очень хорошо себя ведут, когда мы берём сумму пространств или тензорное произведение — так как нет никакого порядка, есть один единственный способ пронумеровать координаты: если координаты для $V_1$ нумеруются базисом $B_1$, а координаты для $V_2$ базисом $B_2$, то координаты для $V_1 \oplus V_2$ нумеруются базисом $B_1 \sqcup B_2$ (объединение дизъюнктное на случай если $V_1 \equiv V_2$), а координаты для $V_1 \otimes V_2$ нумеруются базисом $B_1 \times B_2$.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Я нашел, по-моему, очень хорошее пособие об этом -- https://ium.mccme.ru/postscript/f14/alg ... -total.pdf