Разложить в ряд Фурье

[Nurgali]

Была дана задача: разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ периода $2\pi$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ формулой
$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} -3x, \text{ при } -\pi\le x \le 0\\ x, \text{ при }0\le x \le \pi. \end{array} \right. $

Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

Может ли функция $f(x)$ периода $2\pi$ быть заданной на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой?

Будет ли правильнее, если не будем включать одни из конца (или оба конца) отрезка?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 06.05.2021, 11:12 --

Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):

Будет ли правильнее, если не будем включать одни из конца (или оба конца) отрезка?

Постановка таких задач обычно так и выглядит. Это или опечатка, или недочет.
Ну или функция действительно терпит периодическое продолжение, но в концах отрезка для этого значения функции должны совпадать. Тогда можно и на отрезке.

[artempalkin]

В таком случае ряд Фурье будет сходиться не совсем к самой функции, даже на отрезке от $[-\pi,\pi]$ (а уж тем более в других местах, где о функции мы ничего не знаем). И уж конечно сумма ряда не будет иметь два значения в точках $-\pi$ и $\pi$. Посмотрите теорему Дирихле и скажите, к каким значениям будет сходиться ряд Фурье в точках разрыва функции и в $-\pi$ и $\pi$, если значения функции в этих точках различны?

Lia в сообщении #1517122 писал(а):

Постановка таких задач обычно так и выглядит. Это или опечатка, или недочет.

Не вижу тут никакой опечатки или недочета :) График суммы ряда Фурье функции и график самой функции не обязаны совпадать.

[Lia]

artempalkin в сообщении #1517131 писал(а):

График суммы ряда Фурье функции и график самой функции не обязаны совпадать.

Я в курсе. Но много ли Вы знаете функций периода $2\pi$, заданных на отрезке такой же длины, с разными значениями в его концах?

Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):

разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ периода $2\pi$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ формулой

[artempalkin]

Lia в сообщении #1517132 писал(а):

Я в курсе. Но много ли Вы знаете функций периода $2\pi$, заданных на отрезке такой же длины, с разными значениями в его концах?

А, ну то есть вопрос не по ряду Фурье, а как бы по формулировке задачи. Тогда да, кривовато сформулировано.

[Lia]

Ну, собственно, только с этим у ТС и проблемы.

[Nurgali]

Да, вопрос был не по тому как разложить в ряд Фурье, а именно по формулировке задачи!
Всем спасибо большое!

[ewert]

Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):

Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

А кто сказал, что её надо периодически продолжать?..

Постановка задачи о разложении именно на отрезке -- вполне разумна и совершенно стандартна.

То, что сумма ряда потом вдруг оказывается ещё и периодической -- это уже её, суммы, личное дело.

[Nurgali]

ewert в сообщении #1517168 писал(а):

Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):

Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

А кто сказал, что её надо периодически продолжать?..

Постановка задачи о разложении именно на отрезке -- вполне разумна и совершенно стандартна.

То, что сумма ряда потом вдруг оказывается ещё и периодической -- это уже её, суммы, личное дело.

Тогда может быть не надо было говорить, что функция периодическая, а просто написать разложить функцию на отрезке?

[Lia]

Nurgali
Тут такое. Вы задали один вопрос - и Вам на него ответили.
Можно ли задавать вопрос иначе? Да, можно. Об этом тоже уже сказали.
Тогда никаких коллизий не возникает.