2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 07:49 


03/04/09
103
Россия
Была дана задача: разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ периода $2\pi$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ формулой
$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-3x,  \text{ при } -\pi\le x \le 0\\
x,  \text{ при }0\le x \le \pi.
 \end{array}  \right.
$

Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

Может ли функция $f(x)$ периода $2\pi$ быть заданной на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой?

Будет ли правильнее, если не будем включать одни из конца (или оба конца) отрезка?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.05.2021, 07:55 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.05.2021, 09:08 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 06.05.2021, 11:12 --

Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):
Будет ли правильнее, если не будем включать одни из конца (или оба конца) отрезка?

Постановка таких задач обычно так и выглядит. Это или опечатка, или недочет.
Ну или функция действительно терпит периодическое продолжение, но в концах отрезка для этого значения функции должны совпадать. Тогда можно и на отрезке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 11:27 


14/02/20
832
В таком случае ряд Фурье будет сходиться не совсем к самой функции, даже на отрезке от $[-\pi,\pi]$ (а уж тем более в других местах, где о функции мы ничего не знаем). И уж конечно сумма ряда не будет иметь два значения в точках $-\pi$ и $\pi$. Посмотрите теорему Дирихле и скажите, к каким значениям будет сходиться ряд Фурье в точках разрыва функции и в $-\pi$ и $\pi$, если значения функции в этих точках различны?

Lia в сообщении #1517122 писал(а):
Постановка таких задач обычно так и выглядит. Это или опечатка, или недочет.

Не вижу тут никакой опечатки или недочета :) График суммы ряда Фурье функции и график самой функции не обязаны совпадать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 11:31 


20/03/14
12041
artempalkin в сообщении #1517131 писал(а):
График суммы ряда Фурье функции и график самой функции не обязаны совпадать.

Я в курсе. Но много ли Вы знаете функций периода $2\pi$, заданных на отрезке такой же длины, с разными значениями в его концах?
Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):
разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ периода $2\pi$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ формулой

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 11:39 


14/02/20
832
Lia в сообщении #1517132 писал(а):
Я в курсе. Но много ли Вы знаете функций периода $2\pi$, заданных на отрезке такой же длины, с разными значениями в его концах?

А, ну то есть вопрос не по ряду Фурье, а как бы по формулировке задачи. Тогда да, кривовато сформулировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 11:42 


20/03/14
12041
Ну, собственно, только с этим у ТС и проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 16:14 


03/04/09
103
Россия
Да, вопрос был не по тому как разложить в ряд Фурье, а именно по формулировке задачи!
Всем спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение06.05.2021, 16:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):
Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

А кто сказал, что её надо периодически продолжать?..

Постановка задачи о разложении именно на отрезке -- вполне разумна и совершенно стандартна.

То, что сумма ряда потом вдруг оказывается ещё и периодической -- это уже её, суммы, личное дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение11.05.2021, 15:47 


03/04/09
103
Россия
ewert в сообщении #1517168 писал(а):
Nurgali в сообщении #1517113 писал(а):
Если такую функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[-\pi;\pi]$ данной формулой периодически продолжить, то на концах отрезка одному значению $x$ будет соответствовать более одного значения функции.

А кто сказал, что её надо периодически продолжать?..

Постановка задачи о разложении именно на отрезке -- вполне разумна и совершенно стандартна.

То, что сумма ряда потом вдруг оказывается ещё и периодической -- это уже её, суммы, личное дело.


Тогда может быть не надо было говорить, что функция периодическая, а просто написать разложить функцию на отрезке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить в ряд Фурье
Сообщение11.05.2021, 16:04 


20/03/14
12041
Nurgali
Тут такое. Вы задали один вопрос - и Вам на него ответили.
Можно ли задавать вопрос иначе? Да, можно. Об этом тоже уже сказали.
Тогда никаких коллизий не возникает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group