Принцип неопределённости и классическая волновая механика

[VASILISK11]

realeugene в сообщении #1515894 писал(а):

VASILISK11 в сообщении #1515885 писал(а):

В соотношении неопределенностей фигурирует постоянная Планка, поэтому вывести его из классической механики невозможно, в том числе и рассматривая классический волновой пакет.

Выберите её равной единице.

Постоянная Планка имеет размерность, хотя и в КМ бывает безразмерное соотношение неопределенностей, например: фаза-количество фотонов, но в общем случае присутствует размерность действия.

[realeugene]

VASILISK11 в сообщении #1515915 писал(а):

Постоянная Планка имеет размерность, хотя и в КМ бывает безразмерное соотношение неопределенностей, например: фаза-количество фотонов, но в общем случае присутствует размерность действия.

Размерности - понятия довольно условные. Для многих людей, например, совершенно естественно считать площади в гектарах, а высоту - в тысячах футов. В настоящее время постоянная Планка определена как точная константа, а это значит, что она связывает между собой физические величины, для которых может быть выбрана одинаковая размерность.

[arseniiv]

VASILISK11 в сообщении #1515885 писал(а):

В соотношении неопределенностей фигурирует постоянная Планка

Да господи. Как будто мы не видели математических формулировок квантовой механики, где никаких постоянных Планка нету ($\hbar = 1$ и всё; и всё натурально и всё удобно, физики пусть себе носятся если им так надо*). А релятивистские теории без $c$ вы видели?

* Есть несколько конкретных причин, почему им есть от этого некоторая польза, но не надо думать, что эти причины прям такие универсальные-универсальные.

-- Ср апр 28, 2021 16:47:40 --

VASILISK11 в сообщении #1515915 писал(а):

Постоянная Планка имеет размерность

Ну да, инвариантная скорость тоже имеет размерность. Гм, давайте посчитаем. $c = s / t$ для некоторых $s, t$. Перемещение имеет размерность интервала: $[s] = I$; время имеет размерность интерв… гм тоже интервала: $[t] = I$. Таким образом, $[c] = I / I = 1$ безразмерная**. Чудеса!

Ан нет, не чудеса, потому что, внимание, размерности величин зависят от теории, в которой вы эти величины определяете. В релятивистских теориях нет отдельных размерностей длины и времени, энергии и импульса (и массы), а скорости безразмерны. Потому что это диктует геометрия пространства-времени. Точно так же в квантовых теориях нет отдельных размерностей энергии и частоты, импульса и волнового числа, и так далее. А в релятивистских квантовых теориях размерности сложатся аж вчетверо. А в таких, которые ещё и гравитацию берутся описывать — в восемь раз ($G = 1$).

** Только не подумайте, что я спорю, что у $c$ есть размерность — просто как и у всех безразмерных величин, эта размерность равна 1 (у $c$ в релятивистских теориях).

[VASILISK11]

arseniiv в сообщении #1515921 писал(а):

Ну да, инвариантная скорость тоже имеет размерность. Гм, давайте посчитаем. $c = s / t$ для некоторых $s, t$. Перемещение имеет размерность интервала: $[s] = I$; время имеет размерность интерв… гм тоже интервала: $[t] = I$. Таким образом, $[c] = I / I = 1$ безразмерная**. Чудеса!

Чудеса получаются, когда кто-то хочет вывести постклассическую теорию из классической механики. Без дополнительного постулата никак не получится. Надо постулировать существование максимальной скорости или квантование действия. Без новых постулатов никак, а то, что иногда проскакивают подобия, так дочери и должны быть похожи на мать.

[arseniiv]

VASILISK11 в сообщении #1515931 писал(а):

Чудеса получаются, когда кто-то хочет вывести постклассическую теорию из классической механики. Без дополнительного постулата никак не получится. Надо постулировать существование максимальной скорости или квантование действия.

А как это всё связано с размерностями величин? Мы же говорили про них.

[VASILISK11]

arseniiv в сообщении #1515974 писал(а):

А как это всё связано с размерностями величин? Мы же говорили про них.

Размерность следует из того, что дополнительно постулируем - максимальную скорость, минимальное действие или еще что-то.

[arseniiv]

VASILISK11 в сообщении #1515977 писал(а):

Размерность следует из того, что дополнительно постулируем - максимальную скорость, минимальное действие или еще что-то.

А чем 1 не конечное число?

(Я не очень понимаю ваш поворот мысли, потому вот вам мой.)

-- Чт апр 29, 2021 00:23:20 --

VASILISK11 в сообщении #1515977 писал(а):

минимальное действие

Кстати что? Где?

[VASILISK11]

arseniiv в сообщении #1515979 писал(а):

А чем 1 не конечное число?

(Я не очень понимаю ваш поворот мысли, потому вот вам мой

Дело не цифре, а в ее размерности, и из чего эта цифра следует.
Я тоже не понимаю, какое отношение имеет классический волновой пакет к соотношению неопределенностей КМ, кроме частного случая, случайного совпадения результата.

[lel0lel]

VASILISK11 в сообщении #1515986 писал(а):

Я тоже не понимаю, какое отношение имеет классический волновой пакет к соотношению неопределенностей КМ

Прямое: чем сильнее в пространстве локализовано состояние, тем больше волн с различными волновыми числами его формируют. А поскольку в КМ операторы $x, p$ определены так, что переход от ВФ в координатном представлении к ВФ в импульсном представлении есть Фурье преобразование, то и результат получается такой же как в классике. Другое дело, что общее соотношение неопределённости для некоммутирующих эрмитовых операторов есть более общий математический результат, который из классической физики не следует. Но это не связано с постоянной Планка.

[arseniiv]

VASILISK11 в сообщении #1515986 писал(а):

Дело не цифре, а в ее размерности, и из чего эта цифра следует.

Ну так вот из геометрии пространства Минковского следует, что скорости безразмерны. Можете дальше не верить. Однако рассматривая евклидовы пространства, никто обычно не начинает выдумывать разные размерности для длины, высоты, ширины и прочих направлений, а пространство Минковского отличается от евклидового только небольшой деталью в определении скалярного произведения. (И, на всякий случай, переход к общей теории относительности ничего существенного далее не вносит.) И там осмысленно так же иметь только одну размерность интервала и для длин, и для времён (собственных или координатных или каких-то ещё — не важно), и для прочих интервалов, не обязательно расцениваемых как чья-то длина или длительность (наконец, для нулевых интервалов). Заявлять, что скорость обязательно должна быть размерной — вводить кучу совершенно бесполезных усложнений в математику теории. Да, это можно сделать, оставив всё математически строгим — математика вообще сильна умениями — но это вредно дидактически (ужасные формулы преобразований Лоренца с кучами $c$ и радикалов, бррр) и от этого всегда избавляются в численных расчётах и в длинных теоретических выкладках даже у физиков — так зачем оно нужно? Кому? Для чего?

Аналогично квантовая механика математически не требует никаких $\hbar$. Она требует гильбертово пространство, она требует понимать операторы некоторых специальных видов как наблюдаемые, проекторы и операторы эволюции системы. Ей не нужно навязанных откуда-то сверху размерностей, как и вообще не нужно их любой адекватной математической формализации физической теории; все размерности появятся сами собой при упрощении её до более простого языка как выражения некоторых математических ограничений, которые исходно выполняются автоматически, но перестают это делать после перехода на мирской уровень.

[VASILISK11]

lel0lel в сообщении #1515991 писал(а):

Прямое: чем сильнее в пространстве локализовано состояние, тем больше волн с различными волновыми числами его формируют. А поскольку в КМ операторы $x, p$ определены так, что переход от ВФ в координатном представлении к ВФ в импульсном представлении есть Фурье преобразование, то и результат получается такой же как в классике. Другое дело, что общее соотношение неопределённости для некоммутирующих эрмитовых операторов есть более общий математический результат, который из классической физики не следует. Но это не связано с постоянной Планка

Так я про это и говорю - часпный случай, случайное совпадение, из которого никак не следует общая фоомула. Без постоянной Планка невозможно рассчитать результаты измерений, выходящих за рамки классической механики.
Невозможно, из безразмерного коэффициента, который следует из преобразования Фурье, получить коэффициент с размерностью действия.

arseniiv в сообщении #1515993 писал(а):

Ну так вот из геометрии пространства Минковского следует, что скорости безразмерны.

В пространстве Минковского есть коэффициент $c$, который делает из времени четвертую координату, причем, молчаливо подразумевается, что этот коэффициент одинаков во всех ИСО. Ничего подобного нет в классической механике. И, опять таки, без конкретного значения этого коэффициента невозможно рассчитать результаты релятивистских эффектов.

arseniiv в сообщении #1515993 писал(а):

Заявлять, что скорость обязательно должна быть размерной — вводить кучу совершенно бесполезных усложнений в математику теории. Да, это можно сделать, оставив всё математически строгим — математика вообще сильна умениями — но это вредно дидактически (ужасные формулы преобразований Лоренца с кучами $c$ и радикалов, бррр) и от этого всегда избавляются в численных расчётах и в длинных теоретических выкладках даже у физиков — так зачем оно нужно? Кому? Для чего?

В математике шире полет мысли и либеральней отношение к новым постулатам. Физика ограниченна уникальной реальностью и в ней каждый новый постулат надо " выдирать с кровью". Я не оспариваю математическое описание реальности. Его можно сделать максимально удобным для использования, избавившись от размерностей.

Мое замечание было только по вопросу вывода квантового соотношения неопределенностей из классической механики. Это не возможно.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Не удержусь, прокомментирую сообщение arseniiv:

Рассуждая в разделе ПРР(Ф), думаю, не следует забывать, что в физике физические теории (теория относительности, квантовая механика, электродинамика) это инструмент для изучения явлений, наблюдаемых на опыте. Изучение явлений в природе — высшая цель физики.

Математические модели "чего-то", которые никаким образом невозможно сопоставить с количественными данными эксперимента, физикам не нужны. Чистым математикам они могут быть нужны, для игры их ума. Таким математикам и физические теории если нужны, то лишь как очки мартышке, — поиграться; забава, "мирской уровень" короче)).

Выбор единиц, позволяющий избавиться в формулах физики от явного присутствия мировых постоянных, это просто технический приём для упрощения математических выкладок. Бесспорно, для лаконичного изложения формализма теории это полезный выбор (как и переход в каждой конкретной физической задаче с дифференциальным уравнением к свойственным этой задаче безразмерным переменным — для удобства решения уравнения, разбора предельных случаев).

А в экспериментальной физике выбор удобных единиц для физических величин подсказывается иными соображениями — связанными с существующей техникой измерений. Теория и эксперимент — составляющие физической науки, необходимые обе в равной мере. Физик-теоретик и физик-экспериментатор оба нуждаются в знании деталей перевода данных из протокола измерений на язык формул и обратного перевода результата теоретических выкладок на язык эксперимента. Это ответ на вопрос "зачем оно нужно? Кому? Для чего?"

Если же кто-то возьмётся утверждать, что в физике всегда достаточно считать мировые константы равными единице, то пусть он научит, как решить (без "$c$ и радикалов, бррр") хотя бы пару численных задачек:

Задана вот такая техника эксперимента: есть секундомер и обычная ученическая линейка. Вдоль линейки ползёт муравей со скоростью $v=1$ сантиметр в секунду. Оцените, во сколько раз изменение энергии муравья из-за этого движения отличается от его энергии покоя. (При этом не учите экспериментатора жить: мол, надо выкинуть секундомер, всегда измерять путь, пройденный за то же время светом, и т.п. :-)

Задана длина волны источника света: $\lambda=1$ микрон. Приёмник помещён в криостат с жидким азотом (т.е. по порядку величины температура приёмника $T \sim 100 \, K).$ Оцените, во сколько раз энергия кванта света отличается от энергии теплового движения (т.е. $\hbar \omega / k_B T=?,$ где $\omega=2\pi c/\lambda$ на языке, выученном студентом-экспериментатором. Однако у вас $\hbar=1,$ постоянная Больцмана $k_B=1, \, c=1;$ напишите вывод вашей формулы и численный результат).


Замечу ещё, что в экспериментальной физике понятие "размерность физической величины" связано с методами её измерения (т.е. с тем, что принято называть физическим смыслом; раскрывается этот смысл совокупностью законов физики, затрагивающих данную величину). Это понятие лучше не путать с выбором "единицы измерения", т.е. с выбором эталона для величин данной размерности.

Ну а, например, сказать лишь, что интервал имеет размерность интервала, обозначить её какой-нибудь буковкой, и не указать физических методов измерения интервалов, это для физиков разговор ни о чём.

ИМХО, ес-нно.

[epros]

VASILISK11 в сообщении #1516003 писал(а):

Невозможно, из безразмерного коэффициента, который следует из преобразования Фурье, получить коэффициент с размерностью действия.

Вообще-то "коэффициент с размерностью действия" возникает, когда импульс или энергия выражаются через частоту. Наверное не удивительно, что его нет в преобразовании Фурье, каковое связывает координаты с частотами. Не понимаю, на что потрачено столько букв.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1515993 писал(а):

Однако рассматривая евклидовы пространства, никто обычно не начинает выдумывать разные размерности для длины, высоты, ширины и прочих направлений

Очень долго размерность пространства на Земле была 2+1. Есть выделенное гравитацией направление, а поверхность, по которой перемещаются люди, практически двумерна. Авиаторы до сих пор измеряют высоту в футах.

[VASILISK11]

epros в сообщении #1516007 писал(а):

Вообще-то "коэффициент с размерностью действия" возникает, когда импульс или энергия выражаются через частоту. Наверное не удивительно, что его нет в преобразовании Фурье, каковое связывает координаты с частотами. Не понимаю, на что потрачено столько букв

Про то, что в классической механике нет такого коэффициента, поэтому и вывести из одного частного случая совпадения классического и квантового результата фундаментальный принцип КМ нельзя. Классические аналогии есть для многих постклассических явлений, но из первого не следует второе. Для иллюстрации годится, но для обоснования нет.