Кубическое уравнение с параметром

[rightways]

Пусть $a$ --- натуральное число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $x(y^2-2x^2)+x+y+a=0$ в целых числах выполняется неравенство: $|x| \leqslant a+\sqrt{2a^2+2}$.

Нац. олимпиада Казахстан, 2021. Задачи 11/5 и 10/6 , автор Н.Осипов

[Otta]

rightways в сообщении #1515875 писал(а):

автор Н.Осипов

Щас он проснется и решит.

[rightways]

) а зачем спешить, пусть другие порешают.

[xagiwo]

Получается очень муторное решение, не могу оформить его в $\TeX$е.
Идея в том, чтобы при каждом $x$ найти минимумы $a(y) = x(2x^2 - y^2) - x - y$ при $a \geq 1$, эти минимумы достигаются при $|y| \approx \sqrt{2}|x|$. Проблема в том, что приходится рассматривать кучу промежутков, в которых может находится $y$ и в каждом доказывать, что либо $a \leq 0$, либо $|x| \leq a + \sqrt{2a^2+2}$

[lel0lel]

Не решал, но в уме примерно так: находим дискриминант, он будет не совсем подходящим, чтобы "зажать между квадратами", но если дополнительно использовать уравнение, то получим требуемое.

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1517419 писал(а):

Идея в том, чтобы при каждом $x$ найти минимумы $a(y) = x(2x^2 - y^2) - x - y$ при $a \geq 1$, эти минимумы достигаются при $|y| \approx \sqrt{2}|x|$.

А можно подробней? Не понял, на каком промежутке нужно искать минимум функции $a(y)$. Но в любом случае это новый взгляд на задачу, поэтому и интересуюсь.

lel0lel в сообщении #1517420 писал(а):

он будет не совсем подходящим, чтобы "зажать между квадратами"

Дискриминант (относительно $y$) будет таким: $d=8x^4-4x^2-4xa+1$. Как теперь воспользоваться уравнением? Можно, например, в $d$ вместо $a$ подставить $-x(y^2-2x^2)-x-y$, это даст $d=(2xy+1)^2$. То же самое будет, если $d$ редуцировать по модулю $f(x)=x(y^2-2x^2)+x+y+a$. Но это ничего не дает.

Конечно, задача несложная, но, мне думается, все-таки содержательная (из статистики следует, что ее решили --- в обоих классах --- только победители олимпиады). На сайте олимпиады один из пользователей опубликовал вполне лаконичное решение.

Вот, кстати, более сложный (как мне кажется) вариант задачи.

Пусть $a > 10$ --- целое число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения

$$x(y^2-2x^2) + y^2 + y + a = 0$$

в целых числах выполняется неравенство $|x| \leqslant a +\sqrt{2a^2+2a}$.

Здесь бы хотелось найти решение покороче и без этого технического ограничения $a>10$, так что новые подходы были бы уместны.

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):

А можно подробней?

Это решение в лоб. Ну, возьмём для начала $x > 0$. В положительных $y$ $a(y)$ убывает, значит, минимум в правом конце отрезка, на котором $a > 0$. Можно показать, что при $y = \lceil \sqrt{2}x \rceil$ выполняется $a(y) < 0$, при $y = x$ выполняется $a(y) > 0$, значит, минимум где-то при $y \in [x; \lfloor \sqrt{2}x \rfloor]$; для таких $y$ можно доказать, что если $a$ положительно, то $2x^2 - y^2 \geq 3$, а тогда $a = x(2x^2 - y^2) - x - y > 2x - \sqrt{2}x$, из чего уже требуемое следует. Дальше похожим образом рассматриваются случаи $y < 0$ (тут чуть проще, минимум в точности при $y = -\lfloor \sqrt{2}x \rfloor$), и, что ещё более муторно, $x < 0$.

(upd)

В последнем предложении добавил потерянный минус в $y = -\lfloor \sqrt{2}x \rfloor$

[nnosipov]

xagiwo
Да уж, не очень прозрачная идея. Попробуйте, если интересно, на новом примере, чтобы можно было оценить ее работоспособность.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):

Как теперь воспользоваться уравнением?

С утра хотел написать об этом, но соседняя тема о корнях забрала время.

Идея такая:
мы знаем что

nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):

Дискриминант (относительно $y$) будет таким: $d=8x^4-4x^2-4xa+1$.

Нам мешает двойка в $2\cdot4x^4$, чтобы было два полных квадрата и что-то маленькое. Но из самого уравнения видно, что $2x^2\approx y^2$ (с соответствующими оговорками про большие числа). Из уравнения находим что $2x^2=y^2+1+\frac{y+a}{x}$ и подставляем это в дискриминант, а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$. Вуаля, зажали между квадратами. Рассмотрим далее только случай натуральных (без нуля) решений. Поскольку $2xy-2ax+1$ не может быть нулём (так как остаток 1 по модулю 2), то для того чтобы $d$ было полным квадратом необходимо выполнение условия $|2xy-2ax|\geq 4xy$, то есть $|y-a|\geq 2y$. Это возможно только если $y<a/3$. Но если $x\geq 1.1 a$, то $y\geq a/3$ (оценка получена из уравнения). Таким образом при $x\geq 1.1 a$ дискриминант не будет полным квадратом. Значит решения удовлетворяют неравенству $x<1.1 a$ (напомню, что рассмотрен только случай натуральных решений).

Этот метод легко применять к уравнениям подобного рода. Для уравнения

nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):

$$x(y^2-2x^2) + y^2 + y + a = 0$$

тоже работает.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):

Нам мешает двойка в $2\cdot4x^4$, чтобы было два полных квадрата и что-то маленькое. Но из самого уравнения видно, что $2x^2\approx y^2$ (с соответствующими оговорками про большие числа). Из уравнения находим что $2x^2=y^2+1+\frac{y+a}{x}$ и подставляем это в дискриминант, а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$. Вуаля, зажали между квадратами. Рассмотрим далее только случай натуральных (без нуля) решений. Поскольку $2xy-2ax+1$ не может быть нулём (так как остаток 1 по модулю 2), то для того чтобы $d$ было полным квадратом необходимо выполнение условия $|2xy-2ax|\geq 4xy$, то есть $|y-a|\geq 2y$. Это возможно только если $y<a/3$. Но если $x\geq 1.1 a$, то $y\geq a/3$ (оценка получена из уравнения). Таким образом при $x\geq 1.1 a$ дискриминант не будет полным квадратом. Значит решения удовлетворяют неравенству $x<1.1 a$ (напомню, что рассмотрен только случай натуральных решений).

Оригинально, но надо будет проверить все утверждения. Интересно, насколько точна оценка $x<1.1a$ для натуральных решений.

[lel0lel]

Вот точная

$$x<\left(\frac{(81+\sqrt{6186})^{1/3}}{3^{5/3}}+\frac{5 \left(81+\sqrt{6186}\right)^{-1/3}}{3^{4/3} }\right)a\approx 1.082a$$

Вещественный корень кубического уравнения $9 z^3-5z-6=0.$

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1517566 писал(а):

Интересно, насколько точна оценка $x<1.1a$

В своём сообщении я разбирал случай $x > 0, y > 0$. Там из $2x^2 - y^2 \geq 3$ следует ещё $2x^2 - y^2 \geq 4$(то есть равенство достигаться не может), а потому $a > 3x - \sqrt{2}x$, т.е. $x < \frac{a}{3 - \sqrt{2}}$.
При больших $x$ и $2x^2 - y^2 = 4$ эта оценка примерно достигается.

[nnosipov]

Для решений $(x,y)$ в натуральных числах можно получить оценку: $x \leqslant (3a+\sqrt{2a^2-28})/7 \approx 0.63a$. И эта оценка уже неулучшаема (т.е. достигается) для бесконечно многих значений $a$.

-- Вс май 09, 2021 02:02:19 --

xagiwo в сообщении #1517598 писал(а):

т.е. $x < \frac{a}{3 - \sqrt{2}}$.

Да, у меня так же.

[xagiwo]

Моё парой движений приводится к виду $a \geq 3x - \sqrt{2x^2 - 4}$ (я ухудшил до $a > cx$ для красоты), что эквивалентно Вашей оценке.

[nnosipov]

Похоже, у нас одинаковые подходы, только оформленные по-разному.

-- Вс май 09, 2021 02:22:52 --

xagiwo
Как считаете, какой вариант задачи был бы сложнее: исходный или тот, где рассматриваются только натуральные решения?