Кубическое уравнение с параметром

[xagiwo]

Для меня – исходный, чтобы решить его мне понадобилось рассмотреть натуральные решения отдельно.

[nnosipov]

А мне они кажутся примерно одинаковыми. И тот, где натуральные только, даже немного поинтересней.

[lel0lel]

lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):

$d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$

Если набраться терпения, то в этом подходе также можно получить неулучшаемую оценку. Надо проверять, что $d$ не равно $(2xy\pm 1)^2$, $(2xy\pm 3)^2, (2xy\pm 5)^2,\ldots$, пока не найдём подходящий вариант, а затем написать оценку.

[lel0lel]

lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):

а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$.

Пока улучшал оценку нашёл у себя ошибку. Должно быть $d=(2xy+1)^2$, потому решение неверное.

[nnosipov]

xagiwo
Записал подробно Ваше решение для случая натуральных значений. По-моему, получилась неплохая задачка для какой-нибудь олимпиады.

Задача. Натуральные числа $x$, $y$ и $a$ таковы, что

$$x(y^2-2x^2)+x+y+a=0.$$

Докажите, что $x \leqslant (3a+\sqrt{2a^2-28})/7$.

Решение. Действительно, $a=-x(y^2-2x^2)-x-y$, откуда $y^2-2x^2=-l$ для некоторого натурального $l$ и $a=(l-1)x-y$. При $l=1$ это невозможно. Если $l=2$, то $x \geqslant 2$ и тогда

$$a=x-\sqrt{2x^2-2}<0.$$

Случай $l=3$ также невозможен, ибо $y^2-2x^2 \not\equiv -3 \pmod{8}$. Итак, $l \geqslant 4$, поэтому

$$a=(l-1)x-\sqrt{2x^2-l} \geqslant 3x-\sqrt{2x^2-4}, \eqno(*)$$

при этом $x \geqslant 2$. Функция $f(x)=3x-\sqrt{2x^2-4}$ возрастает при $x \geqslant 2$. В частности, $a \geqslant 4$ и неравенство $(*)$ равносильно неравенству

$$x \leqslant \frac{3a+\sqrt{2a^2-28}}{7},$$

что и требовалось.

Upd. Для уравнения $x(y^2-2x^2)+y^2+y+a=0$ также работает.

[xagiwo]

nnosipov в сообщении #1517725 писал(а):

Записал подробно Ваше решение для случая натуральных значений

Спасибо.