2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кубическое уравнение с параметром
Сообщение28.04.2021, 03:13 


24/12/13
351
Пусть $a$ --- натуральное число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $x(y^2-2x^2)+x+y+a=0$ в целых числах выполняется неравенство: $|x| \leqslant a+\sqrt{2a^2+2}$.

Нац. олимпиада Казахстан, 2021. Задачи 11/5 и 10/6 , автор Н.Осипов

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение28.04.2021, 03:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
rightways в сообщении #1515875 писал(а):
автор Н.Осипов

:mrgreen: Щас он проснется и решит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение28.04.2021, 03:50 


24/12/13
351
) а зачем спешить, пусть другие порешают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 00:37 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Получается очень муторное решение, не могу оформить его в $\TeX$е.
Идея в том, чтобы при каждом $x$ найти минимумы $a(y) = x(2x^2 - y^2) - x - y$ при $a \geq 1$, эти минимумы достигаются при $|y| \approx  \sqrt{2}|x|$. Проблема в том, что приходится рассматривать кучу промежутков, в которых может находится $y$ и в каждом доказывать, что либо $a \leq 0$, либо $|x| \leq a + \sqrt{2a^2+2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 01:15 


20/04/10
1776
Не решал, но в уме примерно так: находим дискриминант, он будет не совсем подходящим, чтобы "зажать между квадратами", но если дополнительно использовать уравнение, то получим требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 08:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo в сообщении #1517419 писал(а):
Идея в том, чтобы при каждом $x$ найти минимумы $a(y) = x(2x^2 - y^2) - x - y$ при $a \geq 1$, эти минимумы достигаются при $|y| \approx  \sqrt{2}|x|$.
А можно подробней? Не понял, на каком промежутке нужно искать минимум функции $a(y)$. Но в любом случае это новый взгляд на задачу, поэтому и интересуюсь.
lel0lel в сообщении #1517420 писал(а):
он будет не совсем подходящим, чтобы "зажать между квадратами"
Дискриминант (относительно $y$) будет таким: $d=8x^4-4x^2-4xa+1$. Как теперь воспользоваться уравнением? Можно, например, в $d$ вместо $a$ подставить $-x(y^2-2x^2)-x-y$, это даст $d=(2xy+1)^2$. То же самое будет, если $d$ редуцировать по модулю $f(x)=x(y^2-2x^2)+x+y+a$. Но это ничего не дает.

Конечно, задача несложная, но, мне думается, все-таки содержательная (из статистики следует, что ее решили --- в обоих классах --- только победители олимпиады). На сайте олимпиады один из пользователей опубликовал вполне лаконичное решение.

Вот, кстати, более сложный (как мне кажется) вариант задачи.

Пусть $a > 10$ --- целое число. Докажите, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $$x(y^2-2x^2) + y^2 + y + a = 0$$ в целых числах выполняется неравенство $|x| \leqslant a +\sqrt{2a^2+2a}$.

Здесь бы хотелось найти решение покороче и без этого технического ограничения $a>10$, так что новые подходы были бы уместны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 15:06 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):
А можно подробней?

Это решение в лоб. Ну, возьмём для начала $x > 0$. В положительных $y$ $a(y)$ убывает, значит, минимум в правом конце отрезка, на котором $a > 0$. Можно показать, что при $y = \lceil \sqrt{2}x \rceil$ выполняется $a(y) < 0$, при $y = x$ выполняется $a(y) > 0$, значит, минимум где-то при $y \in [x; \lfloor \sqrt{2}x \rfloor]$; для таких $y$ можно доказать, что если $a$ положительно, то $2x^2 - y^2 \geq 3$, а тогда $a = x(2x^2 - y^2) - x - y > 2x - \sqrt{2}x$, из чего уже требуемое следует. Дальше похожим образом рассматриваются случаи $y < 0$ (тут чуть проще, минимум в точности при $y = -\lfloor \sqrt{2}x \rfloor$), и, что ещё более муторно, $x < 0$.

(upd)

В последнем предложении добавил потерянный минус в $y = -\lfloor \sqrt{2}x \rfloor$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 15:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
Да уж, не очень прозрачная идея. Попробуйте, если интересно, на новом примере, чтобы можно было оценить ее работоспособность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 19:26 


20/04/10
1776
nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):
Как теперь воспользоваться уравнением?
С утра хотел написать об этом, но соседняя тема о корнях забрала время.

Идея такая:
мы знаем что
nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):
Дискриминант (относительно $y$) будет таким: $d=8x^4-4x^2-4xa+1$.

Нам мешает двойка в $2\cdot4x^4$, чтобы было два полных квадрата и что-то маленькое. Но из самого уравнения видно, что $2x^2\approx y^2$ (с соответствующими оговорками про большие числа). Из уравнения находим что $2x^2=y^2+1+\frac{y+a}{x}$ и подставляем это в дискриминант, а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$. Вуаля, зажали между квадратами. Рассмотрим далее только случай натуральных (без нуля) решений. Поскольку $2xy-2ax+1$ не может быть нулём (так как остаток 1 по модулю 2), то для того чтобы $d$ было полным квадратом необходимо выполнение условия $|2xy-2ax|\geq 4xy$, то есть $|y-a|\geq 2y$. Это возможно только если $y<a/3$. Но если $x\geq 1.1 a$, то $y\geq a/3$ (оценка получена из уравнения). Таким образом при $x\geq 1.1 a$ дискриминант не будет полным квадратом. Значит решения удовлетворяют неравенству $x<1.1 a$ (напомню, что рассмотрен только случай натуральных решений).

Этот метод легко применять к уравнениям подобного рода. Для уравнения
nnosipov в сообщении #1517435 писал(а):
$$x(y^2-2x^2) + y^2 + y + a = 0$$
тоже работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 20:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):
Нам мешает двойка в $2\cdot4x^4$, чтобы было два полных квадрата и что-то маленькое. Но из самого уравнения видно, что $2x^2\approx y^2$ (с соответствующими оговорками про большие числа). Из уравнения находим что $2x^2=y^2+1+\frac{y+a}{x}$ и подставляем это в дискриминант, а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$. Вуаля, зажали между квадратами. Рассмотрим далее только случай натуральных (без нуля) решений. Поскольку $2xy-2ax+1$ не может быть нулём (так как остаток 1 по модулю 2), то для того чтобы $d$ было полным квадратом необходимо выполнение условия $|2xy-2ax|\geq 4xy$, то есть $|y-a|\geq 2y$. Это возможно только если $y<a/3$. Но если $x\geq 1.1 a$, то $y\geq a/3$ (оценка получена из уравнения). Таким образом при $x\geq 1.1 a$ дискриминант не будет полным квадратом. Значит решения удовлетворяют неравенству $x<1.1 a$ (напомню, что рассмотрен только случай натуральных решений).
Оригинально, но надо будет проверить все утверждения. Интересно, насколько точна оценка $x<1.1a$ для натуральных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 21:29 


20/04/10
1776
Вот точная $$x<\left(\frac{(81+\sqrt{6186})^{1/3}}{3^{5/3}}+\frac{5   \left(81+\sqrt{6186}\right)^{-1/3}}{3^{4/3} }\right)a\approx 1.082a$$Вещественный корень кубического уравнения $9 z^3-5z-6=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 21:57 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1517566 писал(а):
Интересно, насколько точна оценка $x<1.1a$

В своём сообщении я разбирал случай $x > 0, y > 0$. Там из $2x^2 - y^2 \geq 3$ следует ещё $2x^2 - y^2 \geq 4$(то есть равенство достигаться не может), а потому $a > 3x - \sqrt{2}x$, т.е. $x < \frac{a}{3 - \sqrt{2}}$.
При больших $x$ и $2x^2 - y^2 = 4$ эта оценка примерно достигается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 22:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Для решений $(x,y)$ в натуральных числах можно получить оценку: $x \leqslant (3a+\sqrt{2a^2-28})/7 \approx 0.63a$. И эта оценка уже неулучшаема (т.е. достигается) для бесконечно многих значений $a$.

-- Вс май 09, 2021 02:02:19 --

xagiwo в сообщении #1517598 писал(а):
т.е. $x < \frac{a}{3 - \sqrt{2}}$.
Да, у меня так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 22:09 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Моё парой движений приводится к виду $a \geq 3x - \sqrt{2x^2 - 4}$ (я ухудшил до $a > cx$ для красоты), что эквивалентно Вашей оценке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 22:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Похоже, у нас одинаковые подходы, только оформленные по-разному.

-- Вс май 09, 2021 02:22:52 --

xagiwo
Как считаете, какой вариант задачи был бы сложнее: исходный или тот, где рассматриваются только натуральные решения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group