Принцип неопределённости и классическая волновая механика

[Asker12]

Читаю книгу “Как понимать квантовую механику” М. Иванова. Там есть момент про то, как принцип неопределённости выводится из преобразований Фурье для обычных механических колебаний:






Я плохо понимаю этот раздел. Подскажите, можно ли понять философскую суть принципа неопределённости из представления что такое обычные волны? Я представляю что такое преобразование Фурье, но не могу осилить смысл фразы “если интегрировать по бесконечному промежутку времени, то частота колебания будет равна нулю, следовательно частота колебания обратно пропорциональна времени”. И как из соотношения для времени и энергии перейти к соотношению для координаты и импульса?

[DimaM]

Asker12 в сообщении #1515373 писал(а):

не могу осилить смысл фразы “если интегрировать по бесконечному промежутку времени, то частота колебания будет равна нулю, следовательно частота колебания обратно пропорциональна времени”

В приведенном отрывке нет такой фразы

[Aritaborian]

Asker12 в сообщении #1515373 писал(а):

можно ли понять философскую суть принципа

А что такое «философская суть»? Какова, например, философская суть второго закона Ньютона? Какова философская суть принципа рычага, теоремы Пифагора, построения $\mathbb{R}$ по Коши? Просветите, пожалуйста, если эти понятия вам знакомы.

[sergey zhukov]

Asker12
Здесь речь о взаимосвязи между частотным и временным разрешением анализатора спектра. Анализатор спектра разбивает входной сигнал на куски и вычисляет спектр всего куска. Размер этих кусков мы можем настраивать сами. Допустим, мы выбрали его равным $L$ сек. Если $L$ очень мало, то мы почти точно знаем, где именно в сигнале появились зафиксированные в спектре частоты (где-то внутри этого $L$, а он совсем короткий). Но сам спектр становится грубее, т.к. расстояния между частотными составляющими спектра равно $\frac{1}{L}$ (так устроено Фурье преобразование). Так что если мы точно знаем положение частоты в сигнале, то мы плохо знаем саму эту частоту.

Наоборот, если $L$ велико, то спектр получается очень подробным, все частоты измерены очень точно. Но где именно они возникли? Где-то внутри $L$, а т.к. теперь оно велико, то мы плохо знаем положение частот в сигнале.
Произведение неопределенности по частоте и неопределенности по положению в сигнале не может быть меньше определенной величины, т.е. на практике мы получаем, что где-то в куске длиной $L$ была зафиксирована частота, лежащая где-то между двумя соседними частотными полосами, расстояние между которыми равно $\frac{1}{L}$.

Можно сказать, что неопределенность здесь возникает не потому, что мы почему-то не можем все измерить точно, а потому, что мы так определили понятия.

[realeugene]

Asker12 в сообщении #1515373 писал(а):

Подскажите, можно ли понять философскую суть принципа неопределённости из представления что такое обычные волны?

Сомневаюсь.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1515397 писал(а):

Сомневаюсь.

Ну тут смотря какой масштаб. Есть принцип неопределённости в общем случае, а есть как раз тот, который про сигмы распределения координаты и волнового числа, который требует только работы с преобразованием Фурье (которое нам притом в любом случае понадобится, если мы переходим от одного представления к другому).

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Uncertainty_principle

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1515414 писал(а):

Ну тут смотря какой масштаб.

Надо было поставить смайлик, каюсь. Вопрос был про философскую суть.

[arseniiv]

Ну в принципе «философская» суть это и есть самый общий строгий результат, воспринимаемый в своём родном контексте, со всеми натуральными ассоциациями, которые есть у используемых понятий и входят в их глубокое понимание (противопоставленное просто знанию определения — лишь первому шагу). (А если самого общего результата нет, а есть несколько неунифицируемых, то все их.) Так что подобные вопросы вполне можно понимать серьёзно, просто иногда люди просят сами не знают чего. На самом деле они обычно хотят понимания общего случая, но также разумеется не всегда имеют знания подходящего уровня.

[realeugene]

Философская суть требует философского подхода.

[arseniiv]

Я бы всё же считал это XY-проблемой: скорее всего нередко человек хочет понимания, но возможно не полного понимания, а такого «ленивого, но достаточного для включения в картину мира и качественных размышлений», и думает, что его туда эффективно приведёт «философская суть», что бы это ни было.

[Asker12]

Aritaborian в сообщении #1515390 писал(а):

А что такое «философская суть»? Какова, например, философская суть второго закона Ньютона? Какова философская суть принципа рычага, теоремы Пифагора, построения $\mathbb{R}$ по Коши? Просветите, пожалуйста, если эти понятия вам знакомы.

Вопрос был про аналогии между квантовой механикой и чем-то относительно понятным, которые сделают более понятной и саму квантовую механику.
Про законы Ньютона трудно сказать, в чём их философская суть - там всё так понятно что обсуждать нечего. Философская суть теоремы Пифагора, возможно - её геометрическое доказательство.

sergey zhukov в сообщении #1515395 писал(а):

Можно сказать, что неопределенность здесь возникает не потому, что мы почему-то не можем все измерить точно, а потому, что мы так определили понятия.

Я пока не вижу связи между L и временем, между w и энергией. И как перейти от соотношения $dt \cdot{dE}$ к $dp \cdot{dx}$?
Если я правильно понимаю, принцип неопределённости связан с коллапсом волновой функции. А можно ли для случая измерения спектра показать аналогию с коллапсом?

-- 23.04.2021, 20:42 --

arseniiv в сообщении #1515447 писал(а):

Я бы всё же считал это XY-проблемой: скорее всего нередко человек хочет понимания, но возможно не полного понимания, а такого «ленивого, но достаточного для включения в картину мира и качественных размышлений», и думает, что его туда эффективно приведёт «философская суть», что бы это ни было.

А вы считаете что понимаете квантовую механику? У вас это самое полное понимание?

[arseniiv]

Asker12 в сообщении #1515449 писал(а):

А вы считаете что понимаете квантовую механику? У вас это самое полное понимание?

Я не могу сказать, что понимаю или не понимаю квантовую механику. Я знаю более-менее простые случаи и некоторый кусок матаппарата. Также я не говорю, что знаю общую квантовомеханическую формулировку (видел несколько раз, но не запоминал). Но если иметь в виду конкретно квантмех, там точно есть одна наиболее общая формулировка, которая уютно устроена в голове многих, думаю, тысяч уж точно физиков и математиков, так что если вопрос был в гарантированной достижимости, она есть.

[sergey zhukov]

Asker12 в сообщении #1515449 писал(а):

Если я правильно понимаю, принцип неопределённости связан с коллапсом волновой функции. А можно ли для случая измерения спектра показать аналогию с коллапсом?

Думаю, нет. Этот коллапс - случайный процесс, а в преобразовании Фурье ничего случайного нет.

Аналогия со спектральным разложением хороша для подступа к понятию неопределенности. Допустим, мы изучаем некоторый аудиосигнал, на котором записан только один короткий всплеск. Вопрос - где точно находится сигнал (всплеск)? Сигнал занимает конечную область, ему нельзя приписать точную координату. Другой вопрос - какова частота сигнала? Сигнал имеет в своем спектре множество частот, одной частотой его не опишешь. Т.е. у нас тут по сути две функции - форма сигнала и форма его спектра - причем обе подразумевают, что сигнал имеет некоторую протяженность во времени и некоторый спектр частот, а не находится в какой-то точке и имеет какую-то определенную частоту.
О точной частоте сигнала можно говорить только тогда, когда его частотный спектр сожмется до одной единственной частоты. Это происходит тогда, когда ширина сигнала стремится к бесконечности. И наоборот, о точной координате сигнала можно говорить только тогда, когда его ширина стремится к нулю. Это происходит, когда его спектр стремится расползтись равномерно по всем частотам.

Из этого можно сделать такой вывод: понятия "положение сигнала" и "частота сигнала" - это распределения, а не числа. Причем эти распределения зависят друг от друга так, что одно сжимается в точку тогда, когда второе расползается по бесконечности, и наоборот. Распределение - это и есть самое точное описание этих понятий. Заменить распределение на конкретное число - это не значит все точно измерить. Это значит попытаться свести распределение к одному из его значений, т.е. все огрубить и упростить.

В квантовой механике я, честно говоря, не разбираюсь. Так что дальше разложения в спектр не рискую залезать.

[epros]

Asker12 в сообщении #1515449 писал(а):

Вопрос был про аналогии между квантовой механикой и чем-то относительно понятным, которые сделают более понятной и саму квантовую механику.

Соотношение между длиной волнового пакета и шириной спектра - это чистая математика. А соотношение неопределённости Гейзенберга - это общий принцип, выведенный из наблюдений. Сопоставили этот принцип с известной математикой - и пришли к выводу, что состояния частиц нужно описывать волновыми функциями.

Asker12 в сообщении #1515449 писал(а):

И как перейти от соотношения $dt \cdot{dE}$ к $dp \cdot{dx}$?

Что значит "перейти"? Распределение по $E$ является таким же Фурье-образом распределения по $t$, как распределение по $p_x$ является Фурье-образом распределения по $x$. Это значит, что если имеем волновой пакет длиной $\Delta x$ вдоль $x$, то будем иметь соответствующую ширину спектра распределения по $p_x$.

-- Сб апр 24, 2021 10:30:26 --

sergey zhukov в сообщении #1515464 писал(а):

Asker12 в сообщении #1515449 писал(а):

Если я правильно понимаю, принцип неопределённости связан с коллапсом волновой функции. А можно ли для случая измерения спектра показать аналогию с коллапсом?

Думаю, нет. Этот коллапс - случайный процесс, а в преобразовании Фурье ничего случайного нет.

Почему же? Коллапс - это всего лишь процесс, который из суперпозиции делает с некоторой вероятностью состояние с определённым значением измеряемой величины. Поэтому если есть распределение по $x$ в форме волнового пакета длиной $\Delta x$, то при измерении $x$ будем получать случайный разброс значений как раз в это $\Delta x$. Если же будем измерять $p_x$, то гистограмма полученных значений как раз образует то самое распределение, которое является Фурье-образом распределения по $x$. Что, собственно, и демонстрирует эксперимент с пропусканием электронов через щель в экране.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1515486 писал(а):

Коллапс - это всего лишь процесс, который из суперпозиции делает с некоторой вероятностью состояние с определённым значением измеряемой величины.

Т.е. коллапс - это реализация случайной величины. Но я не вижу аналога этому в процессе спектрального анализа. Там мы всегда имеем дело с распределениями, и никогда - с реализациями. Или нет?