Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

Разбор задачи ММ264 будет опубликован 7.04.21
Соответственно до 24:00 06.04.2021 желающие (основные желающие успели раньше, но вдруг объявятся новые) могут прислать свои решения.

[VAL]

===========ММ264===============

ММ264 (4 балла)

Назовем пару натуральных чисел $a$ и $b$ аддитивной, если $\tau(a+b)=\tau(a)+\tau(b)$, $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$ и $\varphi(a+b)=\varphi (a)+\varphi(b)$.
Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.

($\tau(n), \sigma(n), \varphi(n)$ - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)

Решение

Привожу решения Олега Полубасова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

Рекордно низкая эстетическая оценка ММ264 могла бы быть значительно выше. Самые низкие оценки сопровождались приписками, что они могут быть существенно повышены, если будет предъявлен способ конструирования аддитивных пар, не основанный на переборе. Впрочем, сами строгие оценщики не верили в существование такого решения.
Не верил в решение, не основанное на переборе, и ведущий. Но надеялся, что конкурсанты предложат хотя и переборный, но высоко эффективный способ конструирования примитивных (не получаемых из других домножением на одно число) аддитивных пар. Примерно такой, какой был предложен для MM163. (Обладатели моей книжки могут найти в ней обобщение способа, изложенного в ММ163.)
Отчасти эти надежды оправдались. Мераб Левиашвили предложил способ поиска аддитивных пар, в которых числа $a, b$ и $a+b$ имеют фиксированное каноническое разложение. После того как были назначены конкретные значения двум из шести простым числам, фигурирующим в решении, остальные были найдены конечным и совсем коротким ручным перебором.
Такой подход был бы хорош, если бы не одно "но". Я не уверен, что другие назначения, отличные от $c=2? e=3$, приведут к нахождению еще хотя бы одной аддитивной пары. Так что, успех на пути, выбранном Мерабом, выглядит, скорее случайным, чем закономерным. (Еще одна претензия к решению Мераба связана с загадочной формулой в третьей строке второй страницы его решения.)
Не исключено, что можно получать аддитивные пары (а точнее тройки), стартуя с других канонических разложений $a, b$ и $a+b$. Однако, среди примитивных наборов найденных Олегом Полубасовым (а он нашел больше всего таких наборов), вид канонического разложения всех трех чисел ($a, b$ и $a+b$) не повторяется ни разу. Так что, способ конструирования серий примитивных наборов пока не вырисовывается.

Награды

За решение задачи ММ264 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 5;
Олег Полубасов - 5;
Анатолий Казмерчук - 4;
Денис Овчинников - 4;
Василий Дзюбенко - 4;
Владислав Франк - 4;
Александр Романов - 4;
Константин Шамсутдинов - 3;
Виктор Филимоненков - 2;
Владимир Дорофеев - 2.

Эстетическая оценка задачи - 3.1 балла

[kosshams]

Не понятно, почему у меня снижена оценка на один балл. Ошибок в результатах и утверждениях нет, сравнил с решением Олега Полубасова. Доказательство есть:
Поэтому среди аддитивных пар (a,b) будут первичные и, полученные из них домножением на число c, взаимно простое с a и b: (ca,cb). Таким образом, если есть хотя бы одна аддитивная пара, то аддитивных пар бесконечно много. Компьютерным перебором получаем, что для a≤b<100000 первичных пар всего 4
Я наоборот, надеялся за дополнительный балл, так как нашел не одну пару. То, что пар вообще только 4 у меня не утверждается. Так что не понятно. Может быть за то, что текст короткий. Но если удастся решить все проблемы мира в одну строчку, так это хорошо, а не плохо.

-- Ср апр 07, 2021 15:54:29 --

Нашел ошибку, но это описка, так как я конечно это знал. Не написано, что домножаем на число, еще взаимно простое с a+b.

[VAL]

kosshams в сообщении #1513266 писал(а):

Не понятно, почему у меня снижена оценка на один балл.
[...]
Нашел ошибку, но это описка, так как я конечно это знал. Не написано, что домножаем на число, еще взаимно простое с a+b.

Да. Именно за это.
Я сомневался, снимать ли балл. И описал ситуацию супруге. Она сказала, что безусловно снимать.
Так что, все претензии к моей жене.

[kosshams]

Буду внимательней

[VAL]

===========ММ265===============

ММ265 (5 баллов)

Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Мераба Левиашвили и Василия Дзюбенко.

Обсуждение

Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. И в целом понравилась им (больше чем ведущему).
Многие участники не ограничились решением базовой задачи, но и обобщили результаты.
Так, Васлий Дзюбенко и Анатолий Казмерчук рассмотрели минимальные количества "бесподобных" прямоугольных треугольников, на которые могут быть разрезаны треугольники произвольного вида. Оказалось, что наряду с правильными этот минимум равен 4 для тупоугольных равнобедренных треугольников (тот же результат без обоснования указал Владимир Дорофеев).
Обобщения от Олега Полубасова и Мераба Левиашвили были с связаны с разрезанием правильных многоугольников с бОльшим числом сторон.
И поставили перед ведущим целый ряд проблем по оцениванию их достижений. Так, Мераб не нашел разрезания квадрата на 5 треугольников, но при этом смог достичь результата $2n-3$ чля четных $n>6$ (у Олега $2n-2$). C другой стороны, Олег и не утверждал, что его результаты окончательны, А Мераб назвал результат 6 для квадрата "абсолютным минимумом". После некоторых размышлений я поощрил Олега и Мераба равным количеством баллов.

Возвращаясь к базовой задаче отмечу симпатичное разрезание правильного треугольника, в котором все углы всех треугольников образуют арифметическую прогрессию с шагом $10^o$. Большинство конкурсантов привели в качестве примера именно его.

Награды

За решение задачи ММ265 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Олег Полубасов - 8;
Анатолий Казмерчук - 7;
Василий Дзюбенко - 6;
Денис Овчинников - 5;
Владислав Франк - 5;
Александр Романов - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Владимир Дорофеев - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

[VAL]

===========ММ266===============

ММ266 (7 баллов)

Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:
1) $\tau(n^3)=\tau(n)^2$, где $n$ – произведение всех выписанных чисел;
2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных.
Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.

Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.

Решение

Привожу решения Василия Дзюбенко, Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз.
Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского ("А какие же они по-вашему?") сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.
Но победа ведущего оказалась пирровой, поскольку, на самом деле, решений оказалось два (я потерял решение с одним составным числом).
Очередной (и не последний) раз размышляя, как разруливать возникшую ситуацию я пришел к такому "соломонову" решению: нашедшим одно решение ставить за задачу полный балл (ведь они решили задачу не хуже ведущего, да и итог обсуждения с Олегом как-бы подсказывал, что второго решения искать не надо), а нашедших оба решения поощрять дополнительным баллом (как обычно дополнительные баллы раздаются более скупо, чем основные).

Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях.
Мераб Левиашвили, оставив незыблемым условие $\tau(n^3)=\tau(n)^2$ (а значит, и попарную взаимную простоту дней рождения), занялся рассмотрением задачи в других календарях.
Анатолий Казмерчук, наоборот, сосредоточил свое внимание на на уравнении $\tau(n^a)=\tau(n)^b$
Рассуждения Анатолия представляются мне более интересными (менее искусственными). Впрочем, возможно, это лишь моя субъективная "кочка зрения".

Награды

За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 10;
Мераб Левиашвили - 9;
Василий Дзюбенко - 8;
Денис Овчинников - 8;
Владислав Франк - 8;
Александр Романов - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Олег Полубасов - 7;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла

[Masik]

Задачу я не решил. Очень жаль, что у меня уже вовсю рассеянность и старческий склероз, но это не повод для ведущего брать вину на себя и натягивать мне баллы. У меня было достаточно времени, чтобы проверить и перепроверить решение.

Кстати, со дня на день ожидаем результатов ЗЧР. Посмотрим, кто там больше наошибался, я или Константин Шамсутдинов. Но, что я налажал, - это точно.

[VAL]

Masik в сообщении #1515067 писал(а):

Задачу я не решил. Очень жаль, что у меня уже вовсю рассеянность и старческий склероз, но это не повод для ведущего брать вину на себя и натягивать мне баллы.

Не согласен.
Например, потеря одного случая из двух при решении 17-й задачи профильного ЕГЭ (а там часто встречаются 2 случая) наказывается удержанием одного балла. То есть, задача считается решенной, но с недочетом. И с этим пунктом критериев (в отличие от некоторых других) я полностью согласен.
Ну и прочие обстоятельства, изложенные в обсуждении, на мой взгляд, важны.

PS: Если я соглашусь, то придется признать, что и я задачу не решил. Не дождетесь!

[VAL]

===========ММ267===============

ММ267 (7 баллов)

Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), Анатолия Казмерчука и Александра Романова.

Обсуждение

В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?!
Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются реже, чем представления второго. Ведь именно "реже" (а отнюдь не "не чаще") является обратным бинарным отношением к отношению "чаще". Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.
Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.
В результате ведущему вновь пришлось прибегать к "соломонову решению". Точнее, к решению мудреца из анекдота, который заверил каждого из спорщиков, что он прав. Правы и те, кто считает, что Петя прав, и те, что полагает, что он не прав, и те, кто рассмотрел оба подхода, и те (нашлись и такие дипломаты), кто не упомянул вопрос о Петиной правоте в своем решении. Главное, чтобы в решении было показано, что представлений каждого вида поровну.

В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы.

Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил.

Награды

За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Мераб Левиашвили - 9;
Василий Дзюбенко - 7;
Денис Овчинников - 7;
Владислав Франк - 7;
Александр Романов - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Олег Полубасов - 7;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1515696 писал(а):

Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются реже, чем представления второго. Ведь именно "реже" (а отнюдь не "не чаще") является обратным бинарным отношением к отношению "чаще". Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.
Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.

ИМХО, право большинство.

[VAL]

kotenok gav в сообщении #1515705 писал(а):

ИМХО, право большинство.

Я привел аргументы в пользу своей трактовки. А что у Вас, кроме ХО?
Еще раз: обратное отношение - четко определенное понятие. И для "чаще" - это "реже".
А что такое обратное утверждение, для утверждения не являющегося импликацией? Отрицание? Но это противоположное, а не обратное утверждение.

[VAL]

Разбор задачи ММ268 будет опубликован не ранее 10 мая. Соответственно до Дня Победы включительно можно присылать решения (улучшения, исправления).

[VAL]

===========ММ268===============
ММ268 (9 баллов)
Решения принимаются до 02.05.2021
Назовем натуральное число $m$ допустимым, если существует такое $n$, что из чисел
$1, 2, …, n$ можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную $m$. Сколько существует недопустимых чисел?

Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку $148=1\cdot 3+2\cdot 5\cdot 8+4+6\cdot 9+7$.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова (для поклонников сестры таланта), Анатолия Казмерчука и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса.

Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой).

Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13, на первый взгляд, кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.

Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.
Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой

Награды

За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 12;
Анатолий Казмерчук - 11;
Владислав Франк - 10;
Василий Дзюбенко - 9;
Денис Овчинников - 9;
Александр Романов - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Виктор Филимоненков - 9;
Олег Полубасов - 9;
Владимир Дорофеев - 9;
Михаил Ватник - 9.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла

[fiviol]

Ура, я стал тысячником!