Вопрос про сопряжения

[geomath]

Допустим, вводится некое отображение, преобразование или что-то такое. Какими свойствами или каким характерным свойством оно должно обладать, чтобы называться не как-нибудь, а сопряжением?

[arseniiv]

geomath
Разными.

-- Пт апр 16, 2021 00:33:51 --

Я хотел сегодня прибавить, что есть нечто общее между тем-то и тем-то использованием слова «сопряжённый», но передумал. Есть-то есть, но или напишется рукомахательно и бесполезно, или надо погружаться в дебри чего-то там и опять же это будет пустою забавою в том смысле, что для кого? для чего? Наиболее эффективным путём выглядит «если человеку интересно, он почитает за несколько лет много разных книжек и свяжет что-то себе в голове сам в той степени, в какой натурально». А то лезть в $\dagger$-категории, в $*$-алгебры?.. И сам же плохо помнишь, значит надо будет тоже вчитываться, а времени на всё нет. А так даже сложно будет написать «вот то и вот это точно вообще никакой идеей не связаны».

-- Пт апр 16, 2021 00:36:13 --

То есть вот говоришь например ты: «сопряжение — это инволюция» — и тут бам сопряжение элементом группы.

[geomath]

arseniiv в сообщении #1514519 писал(а):

Наиболее эффективным путём выглядит «если человеку интересно, он почитает за несколько лет много разных книжек и свяжет что-то себе в голове сам в той степени, в какой натурально».

"он почитает за несколько лет" )) Смешно. Одно дело задаться вопросом (праздным), почему элементы традиционно называются "сопряженными", и совсем другое дело, когда называть что-то и как-то приходится тебе самому ну вот прямо сейчас. Если ты вводишь некое преобразование элементов и пытаешься систематически, раз за разом его использовать, то названия не избежать. Можно ли называть связываемые элементы $x$ и $x\:$* сопряженными? Я считаю, что если это инволюция, то да, можно, этого достаточно, и тогда вопрос следует переформулировать так: что в этом плохого?

[arseniiv]

Плохого то, что инволюций (или антиинволюций) может быть вагон и маленькая тележка на одной и той же алгебре Клиффорда например.

[geomath]

arseniiv в сообщении #1514649 писал(а):

Плохого то, что инволюций (или антиинволюций) может быть вагон и маленькая тележка на одной и той же алгебре Клиффорда например.

А попроще пример нельзя привести?

[arseniiv]

Ну вот вам пример попроще. $\mathbb C$, инволюции $z \mapsto -z$, $z \mapsto - \bar z$. Давайте будем $-z, -\bar z$ называть сопряжёнными $z$, ажно все обрадуются!

[geomath]

arseniiv в сообщении #1514740 писал(а):

Ну вот вам пример попроще. $\mathbb C$, инволюции $z \mapsto -z$, $z \mapsto - \bar z$. Давайте будем $-z, -\bar z$ называть сопряжёнными $z$, ажно все обрадуются!

Получается, что загвоздка только в их количестве? А в случае единственности и загвоздки бы не было? Может, тогда сопряжением каждый раз следует называть наиболее важную (частую) инволюцию?

[arseniiv]

geomath в сообщении #1514775 писал(а):

Получается, что загвоздка только в их количестве?

Нет, просто у меня нет желания придумывать все возможные аргументы против. А вдруг их вообще бесконечное множество.

Если инволюция одна, всё равно может быть антигуманно звать её сопряжением. Но я не могу дать вам общее правило, когда гуманно, вообще сами оцените сложность такой задачи. Можно только дать общие слова про интуицию и вкус (оба обозначают следствия какого-то обширного опыта).

geomath в сообщении #1514775 писал(а):

Может, тогда сопряжением каждый раз следует называть наиболее важную (частую) инволюцию?

Угу, ещё бы в любом кем бы то ни было рассматриваемом наборе существовала наиболее важная.

-- Сб апр 17, 2021 22:02:02 --

Вообще в названии новых понятий стоит быть скромным, а в названии не новых разбирать, какое из возможных названий полезнее для понимания и меньше будет путаться с другими названиями и т. п.. И не то чтобы это было что-то неочевидное… Так что если прям в глаза бросаются аналогии или связи с чем-то, что принято (и не просто потому что традиция, а потому что полезно) звать сопряжением, то да, звать так, а если даже и бросается, но вяло, то лучше подождать того, что скажут другие специалисты в той же области и не решать самолично. В лучшем случае ваше название никто не подхватит.

[Sinoid]

geomath в сообщении #1514775 писал(а):

Получается, что загвоздка только в их количестве? А в случае единственности и загвоздки бы не было? Может, тогда сопряжением каждый раз следует называть наиболее важную (частую) инволюцию?

Да, что вам далось так это сопряжение? Ну, назвали так и назвали. Вот смотрите. Вот когда-то утвердились дроби в математике окончательно. Ага, на радостях стали брать дроби, умножали их там, складывали, все дела. И вдруг, бац, заметили, что для всякой ненулевой можно указать такую, что их произведение дает 1. Эту (ту, которая при умножении на исходную дает 1) назвали обратной к исходной. Отсюда получили взаимность так введенного понятия взаимности и как результат от введенного нового понятия получили удобно формулируемое правило: произведение обратных чисел равно 1. Точно такой же толк был после введения понятия противоположного числа: получили удобно формулируемое правило сумма противоположных чисел равна 0. И ровно те же соображения - для получения удобно формулируемого утверждения - натолкнули на мысль ввести новое понятие именно таким образом, как оно стало определяться в учебниках после его введения. Придумать же название для нового понятия - вообще дело десятое.

[geomath]

Sinoid в сообщении #1514823 писал(а):

Придумать же название для нового понятия - вообще дело десятое.

Дело не в словах, но в понятиях. Просто меня волнует, что некоторые понятия почему-то аксиоматизированы, например: метрика, топология, близость... А другие, на мой взгляд не менее достойные, почему-то нет. И их много больше, чем аксиоматизированных. В том числе сопряженность, если уж ветка такая подвернулась.

[Sinoid]

geomath в сообщении #1514838 писал(а):

В том числе сопряженность, если уж ветка такая подвернулась.

А сопряженность и не аксиоматизирована, если что.

-- 18.04.2021, 00:12 --

geomath в сообщении #1514838 писал(а):

Просто меня волнует, что некоторые понятия почему-то аксиоматизированы, например: метрика, топология, близость... А другие, на мой взгляд не менее достойные, почему-то нет.

Так никто не запрещает аксиоматизировать другие понятия. Аксиоматизируйте себе на здоровье и получайте уже в качестве теорем ненышние аксиомы. НО. Если ваша система аксиом вновь построенной аксиоматической теории будет содержать большее число аксиом по сравнению с построением аналогичной теории, но на другой системе аксиом, ваше построение хуже того, если из построенной вами теории можно будет вывести меньшее число теорем, ваша теория хуже той. Это я говорю про разделы математики, непосредственно связанные с реальным миром. А дальше там дебри, не стоит туда лезть.

[arseniiv]

geomath в сообщении #1514838 писал(а):

Просто меня волнует, что некоторые понятия почему-то аксиоматизированы, например: метрика, топология, близость... А другие, на мой взгляд не менее достойные, почему-то нет.

Вы смешиваете сразу кучу вещей. Во-первых понятия и слова, используемые в их названии — одно и то же слово или близко морфологически связанные слова могут входить в названия разных понятий. Во-вторых аксиоматизацию и просто определения. Понятия не аксиоматизируют, аксиоматизируют теории. Понятия имеют определения, хотя если мы полезем в формализм, то они могут, да, иметь определяющие аксиомы, но не обязательно, определения могут пониматься как сокращения.

Наконец, между различными метриками есть много общего, потому их абстрагировали в понятие «метрика». Между разными сопряжёнными штуками не так много, и вы зря говорите, что никто ничего не сделал: я же помянул, что надо перейти на более высокий уровень, чтобы что-то по этому поводу можно было обсудить. В одностороннем порядке я лично например в теорию категорий и прочее не полезу. (Я не просто так упомянул $\dagger$-категории, вы почитали про них? Бьюсь об заклад что нет.) Так вот, возвращаясь к метрике, надо упомянуть, что есть куча похожих понятий: обобщений ($\infty$-метрика, псевдометрика), близких понятий (норма), не совсем близких (метрический тензор как часть риманова многообразия) (и обе этих вещи индуцируют и обычную метрическую структуру) и т. п.. Это значит, что не так-то уж мало понятий так выделенно, как вы предполагаете. Просто есть популярные в широких кругах понятия, например.

geomath в сообщении #1514838 писал(а):

если уж ветка такая подвернулась

Мне кажется, вам чересчур часто ветки подворачиваются. Если даже основное обсуждение закончилось, это не значит, что не стоит открыть свою отдельную ветку, а не добавлять вопросы из немного другой оперы поверх. Если бы контекст как-то с ними помогал — но ведь обычно нет. Я не помню, когда ваши дополнительные вопросы как-то лучше отвечались в свете того, что было в теме до них, чем без него…

[geomath]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1514849 писал(а):

Так никто не запрещает аксиоматизировать другие понятия.

Это вы про какое-то шапкозакидательство. Разве я об этом??

arseniiv в сообщении #1514867 писал(а):

Понятия не аксиоматизируют, аксиоматизируют теории.

Я с этим не согласен. Но даже если это и так, то вопрос всего лишь видоизменится, не более. Почему одни понятия теоретизируются и только потом, по-вашему, аксиоматизируются, а другие, не менее достойные, почему-то нет, и не теоретизируются и не аксиоматизируются? Вот расстояние или вероятность. Вполне себе обыденные понятия. Но математика ДОРОСЛА до их экспликации. А до экспликации других обыденных понятий, важнейших, почему-то не доросла. Хотя обыденное, по сути, самое первостепенное в жизни и есть, а вовсе не какие-то там математические извращения. Или вот парочка понятий: чистоплюйство и малодушие. Если я скажу (добавив чуточку необыденной абстрактности), что это характерные свойства математики в целом, то математики, понятно, обидятся и надуются... а по сути, в силу сказанного, это так и есть.

[arseniiv]

geomath в сообщении #1514878 писал(а):

Почему одни понятия теоретизируются и только потом, по-вашему, аксиоматизируются, а другие, не менее достойные, почему-то нет, и не теоретизируются и не аксиоматизируются?

Ну вы не читаете. Потому что это некорректный вопрос. Потому что понятия бывают разной степени оформленности, некоторые лучше звать просто идеями или аналогиями, а другие доходят до конкретизации и получают точные определения. Потому что вы видели меньше 5% всех понятий математики и представляете ситуацию превратно. И т. п..

geomath в сообщении #1514878 писал(а):

Если я скажу (добавив чуточку необыденной абстрактности), что это характерные свойства математики в целом, то математики, понятно, обидятся и надуются...

У математики свои цели, и если вы их не понимаете, это ваша проблема, а не математиков.

[Sinoid]

(Оффтоп)

geomath в сообщении #1514878 писал(а):

Хотя обыденное, по сути, самое первостепенное в жизни и есть, а вовсе не какие-то там математические извращения. Или вот парочка понятий: чистоплюйство и малодушие.

До какого высокого уровня абстракции дошел человек...