мера сходящейся последовательности точек

[ewert]

а, нет, не дочитал (посыпая голову), у меня картинок нет

[ShMaxG]

А если последовательность ограниченная, но не сходящаяся? Например, у нее есть 2 точки, в любой окрестности которых содержится бесконечное число точек.

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #151390 писал(а):

А если последовательность ограниченная, но не сходящаяся? Например, у нее есть 2 точки, в любой окрестности которых содержится бесконечное число точек.

А Вы перенумеруйте все рациональные точки отрезка и попробуйте измерить такую последовательность по Жордану.

[ShMaxG]

Аналогично, выберем 2 отрезка (параллелепипеда), которые содержат такие точки, тогда вне этих отрезков будет лишь конечное число членов последовательности. Мера - нуль.

[ewert]

ShMaxG писал(а):

А если последовательность ограниченная, но не сходящаяся? Например, у нее есть 2 точки, в любой окрестности которых содержится бесконечное число точек.

Важно, что количество точек сгущения конечно -- тогда мера нулевая. В противном случае измеримость не гарантирована (а может, и попросту невозможна -- лень додумывать).

[ShMaxG]

ewert
Дык вот в этом вся и фишка, додумать надо

[Brukvalub]

Я же привел Вам контрпример для общего случая ограниченной последовательности.

[ewert]

ShMaxG писал(а):

ewert
Дык вот в этом вся и фишка, додумать надо

Изначально вопрос о том, возможна ли измеримость по Жордану при бесконечном наборе точек сгущения -- не ставился. А я сегодня двенадцать часов отпахал, и завтра -- ещё восемь, так что не в силах.

[ShMaxG]

Множество всех рациональных чисел на отрезке - не измеримо.
Возможна ли измеримость по Жордану при бесконечном наборе точек сгущения - вот в чем вопрос....думаю....

Добавлено спустя 15 минут 44 секунды:

Пусть дан отрезок, на котором дана система бесконечного набора точек, то получится, что внешняя мера не может быть нуль, а внутренняя равна нулю.

[ewert]

ShMaxG писал(а):

Пусть дан отрезок, на котором дана система бесконечного набора точек, то получится, что внешняя мера не может быть нуль,

не факт, представьте себе, что эти точки сгущения, в свою очередь, образуют сходящуюся последовательность

[ShMaxG]

Если честно, то мне интересен случай, когда не образуют

Добавлено спустя 10 минут 4 секунды:

Т.е., меня интересует случай здесь:

http://dxdy.ru/topic16799.html#151380

[ewert]

там -- формально другой случай, канторово множество несчётно