2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразование Лапласа, содержательный смысл?
Сообщение17.10.2008, 19:54 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить? Наверное необходимо использовать формулу Эйлера $e^{\theta t}=\cos(\theta t)+i\sin(\theta t)$. Но при подстановке в преобразование Лапласа, это как-то не очевидно. Где эти частоты к которым трансформировали функцию? Если исходить из обозначения, то преобразование Лапласа это функция комплексного переменного, но это же не частота.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Alexey1 в сообщении #151399 писал(а):
Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить?
Что это за временные и частотные диапазоны?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:03 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:11 


10/10/08
53
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

читайте ТФКП Лаврентьева Шабата, и мешанины в голове станет меньше

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:11 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.


Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:13 


10/10/08
53
bubu gaga писал(а):
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.


Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

что и куда переводит эта интеграция написано в учебнике по функциональному анализу Иосиды

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:28 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ну это не ответ "Читайте учебник". Так на любой вопрос можно ответить на этом форуме. Может поясните.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:56 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Преобразование Лапласа это примерно то же самое, что и преобразование Фурье, только замена переменных сделана. Так что для наглядности можно начать с преобразования Фурье периодических функций. Преобразует зависящую от времени функцию в набор коэффициентов (амплитуд) для частот гармонических колебаний на которые раскладывается функция (тригонометрический ряд).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:14 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ну то есть всё таки надо использовать формулу Эйлера? Тогда агруметом тригонометрических функций будут $\beta t$, то есть
$e^{\theta t} = e^{\alpha t + i \beta t} = e^{\alpha t}(cos(\beta t) + isin(\beta t))$, где частотой будут являться $2 \pi / \beta$. Это правильно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:38 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Надо для чего?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:40 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Ну чтобы сделать эту зависимость более очевидной. Или где эта частота к которой трансформировали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:57 
Заслуженный участник


22/01/07
605
C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:03 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Что Вы имеете ввиду? Я по аналогии с трансформацией Фурье и сделал эти вычисления так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:11 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Экспоненту $e^{- pt}$ в преобразовании Лапласа можно рассматривать как $e^{ ip(it)}$. Получается преобразование Фурье от мнимого аргумента от функций, равных нулю при $t<0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:18 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Gafield писал(а):
C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?


Правильно ли я понял: $e^{-st}$ это чистое колебание, а $f(t)$ наблюдаемая функция, и значение $\mathcal{L}(s)$ говорит насколько сильно эти функции совпадают по частоте $s$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group