Преобразование Лапласа, содержательный смысл?

[Alexey1]

Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить? Наверное необходимо использовать формулу Эйлера $e^{\theta t}=\cos(\theta t)+i\sin(\theta t)$. Но при подстановке в преобразование Лапласа, это как-то не очевидно. Где эти частоты к которым трансформировали функцию? Если исходить из обозначения, то преобразование Лапласа это функция комплексного переменного, но это же не частота.

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #151399 писал(а):

Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить?

Что это за временные и частотные диапазоны?

[Alexey1]

Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

[redhat]

Alexey1 писал(а):

Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

читайте ТФКП Лаврентьева Шабата, и мешанины в голове станет меньше

[bubu gaga]

Alexey1 писал(а):

Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

[redhat]

bubu gaga писал(а):

Alexey1 писал(а):

Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

что и куда переводит эта интеграция написано в учебнике по функциональному анализу Иосиды

[Alexey1]

Ну это не ответ "Читайте учебник". Так на любой вопрос можно ответить на этом форуме. Может поясните.

[Gafield]

Преобразование Лапласа это примерно то же самое, что и преобразование Фурье, только замена переменных сделана. Так что для наглядности можно начать с преобразования Фурье периодических функций. Преобразует зависящую от времени функцию в набор коэффициентов (амплитуд) для частот гармонических колебаний на которые раскладывается функция (тригонометрический ряд).

[Alexey1]

Ну то есть всё таки надо использовать формулу Эйлера? Тогда агруметом тригонометрических функций будут $\beta t$, то есть
$e^{\theta t} = e^{\alpha t + i \beta t} = e^{\alpha t}(cos(\beta t) + isin(\beta t))$, где частотой будут являться $2 \pi / \beta$. Это правильно?

[Gafield]

Надо для чего?

[Alexey1]

Ну чтобы сделать эту зависимость более очевидной. Или где эта частота к которой трансформировали.

[Gafield]

C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?

[Alexey1]

Что Вы имеете ввиду? Я по аналогии с трансформацией Фурье и сделал эти вычисления так?

[Gafield]

Экспоненту $e^{- pt}$ в преобразовании Лапласа можно рассматривать как $e^{ ip(it)}$. Получается преобразование Фурье от мнимого аргумента от функций, равных нулю при $t<0$.

[bubu gaga]

Gafield писал(а):

C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?

Правильно ли я понял: $e^{-st}$ это чистое колебание, а $f(t)$ наблюдаемая функция, и значение $\mathcal{L}(s)$ говорит насколько сильно эти функции совпадают по частоте $s$?