2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразование Лапласа, содержательный смысл?
Сообщение17.10.2008, 19:54 
Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить? Наверное необходимо использовать формулу Эйлера $e^{\theta t}=\cos(\theta t)+i\sin(\theta t)$. Но при подстановке в преобразование Лапласа, это как-то не очевидно. Где эти частоты к которым трансформировали функцию? Если исходить из обозначения, то преобразование Лапласа это функция комплексного переменного, но это же не частота.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 19:57 
Аватара пользователя
Alexey1 в сообщении #151399 писал(а):
Известно, что преобразование Лапласа это смена координат, то есть из временного диапазона функция переводится в частотный диапазон. Как это проверить?
Что это за временные и частотные диапазоны?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:03 
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:11 
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.

читайте ТФКП Лаврентьева Шабата, и мешанины в голове станет меньше

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:11 
Аватара пользователя
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.


Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:13 
bubu gaga писал(а):
Alexey1 писал(а):
Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
In this analysis, the Laplace transform is often interpreted as a transformation from the time-domain, in which inputs and outputs are functions of time, to the frequency-domain, where the same inputs and outputs are functions of complex angular frequency, or radians per unit time.


Меня например эта статья не просветила. Во всех источниках упоминаются домены, но почему "интеграция c экспоненциальным взвешиванием"

$$ \int_{0}^{\infty}{e^{-st} f(t) \, dt} $$

переводит что-то куда-то?

что и куда переводит эта интеграция написано в учебнике по функциональному анализу Иосиды

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:28 
Ну это не ответ "Читайте учебник". Так на любой вопрос можно ответить на этом форуме. Может поясните.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 20:56 
Преобразование Лапласа это примерно то же самое, что и преобразование Фурье, только замена переменных сделана. Так что для наглядности можно начать с преобразования Фурье периодических функций. Преобразует зависящую от времени функцию в набор коэффициентов (амплитуд) для частот гармонических колебаний на которые раскладывается функция (тригонометрический ряд).

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:14 
Ну то есть всё таки надо использовать формулу Эйлера? Тогда агруметом тригонометрических функций будут $\beta t$, то есть
$e^{\theta t} = e^{\alpha t + i \beta t} = e^{\alpha t}(cos(\beta t) + isin(\beta t))$, где частотой будут являться $2 \pi / \beta$. Это правильно?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:38 
Надо для чего?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:40 
Ну чтобы сделать эту зависимость более очевидной. Или где эта частота к которой трансформировали.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 21:57 
C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:03 
Что Вы имеете ввиду? Я по аналогии с трансформацией Фурье и сделал эти вычисления так?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:11 
Экспоненту $e^{- pt}$ в преобразовании Лапласа можно рассматривать как $e^{ ip(it)}$. Получается преобразование Фурье от мнимого аргумента от функций, равных нулю при $t<0$.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:18 
Аватара пользователя
Gafield писал(а):
C преобразованием Фурье понятно, где там частоты?


Правильно ли я понял: $e^{-st}$ это чистое колебание, а $f(t)$ наблюдаемая функция, и значение $\mathcal{L}(s)$ говорит насколько сильно эти функции совпадают по частоте $s$?

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group