Тема для глупых вопросов ко всем участникам

[Emergency]

arseniiv в сообщении #1514438 писал(а):

Ууу, разочаровываете, я ждал чего-то менее вменяемого(

В примере Sicker получается 2, а не 1. Очень содержательно и убедительно.

[Mihr]

Vladimir-80 в сообщении #1514440 писал(а):

обе эти бесконечности одинаковые

Представился мне здесь примерно такой диалог:

— Знавал я, знаете ли, одну бесконечность… Она была совершенно изумительна! Ну совершенно не такая, как все остальные бесконечности, с коими мне доводилось встречаться!
— Да бросьте вы, батенька! Все ба… Все бесконечности одинаковы! Все они на одно лицо!

[StepV]

Emergency в сообщении #1514418 писал(а):

Мазохизм и неадекватность Иисуса поражает воображение.

Прочитал и вспомнил строки из Асадова:
"А счастье, по-моему, просто
Бывает разного роста:
От кочки и до Казбека,
В зависимости от человека!"

Великолепно сказано!!!!

[arseniiv]

Vladimir-80 в сообщении #1514440 писал(а):

обе эти бесконечности одинаковые

Ага, а ряд $\sum_{k = 0}^\infty (-1)^k$ сходится.

-- Чт апр 15, 2021 19:12:55 --

Emergency в сообщении #1514442 писал(а):

В примере Sicker получается 2, а не 1. Очень содержательно и убедительно.

Так он в самом начале написал «как определять», вот это правильно, остальное можно игнорировать.

[Vladimir-80]

arseniiv в сообщении #1514460 писал(а):

Ага, а ряд $\sum_{k = 0}^\infty (-1)^k$ сходится.

Нет, не сходится. А вот уходящие в стороны бесконечные шеренги $x$ и $y$ абсолютно одинаковы по построению. И там царствует абсолютная гармония: каждой твари - по паре.

[arseniiv]

Так там же аналогично всё: мы можем выделить какой-то кусок в центре, равный любой степени $x$, и сказать, что хвосты по обе его стороны умножаются в единицу, оставляя значением всего произведения эту самую произвольную степень.

-- Чт апр 15, 2021 19:27:15 --

Когда я придумывал тот вопрос, у меня в голове крутились реальные бесконечные строки (из-за одной тему про индуктивные функции) и что можно с ними сделать. Не помню, была ли идея, что можно сделать, по идее ничего нового нельзя.

[Vladimir-80]

arseniiv в сообщении #1514464 писал(а):

мы можем выделить какой-то кусок в центре, равный любой степени $x$, и сказать, что хвосты по обе его стороны умножаются в единицу

Это всё ложные выводы, идущие от нежелания честно проделать операции со всей бесконечностью включительно. Мы же знаем, что иксов и игреков одинаково бесконечно много. Построенная бесконечная последовательность симметрична. На сколько бы влево мы ни убежали в поисках $x$, всегда на столько же справа найдётся соответствующий парный $y$. Каждое их произведение даёт единицу. И произведение этих единиц тоже даёт единицу. Ну а если мы, бегая по бесконечности хаотично, на каком-то промежуточном этапе вычислений получили иной результат - не беда, просто мы ещё не всё посчитали. Надо продолжить вычисления, и мы получим верный результат. Делов-то - перемножить бесконечное количество множителей! Главное - не лениться!
Ведь мы же выдумали эту бесконечность? Кому как не нам решать, чему она в итоге будет равна?

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1514438 писал(а):

Ууу, разочаровываете, я ждал чего-то менее вменяемого(

А я сразу понял, что вы придумали вопрос исходя из кажущихся вам представлений о моих рассуждениях, что я считаю какие-то вещи априори определенными, а их можно формально доопределить по разному, и они будут по сути разными вещами. Вы просто почти никогда не понимаете меня правильно

-- 15.04.2021, 17:56 --

arseniiv в сообщении #1514460 писал(а):

Так он в самом начале написал «как определять», вот это правильно, остальное можно игнорировать.

Почему? Весь ответ содержателен А пример с двойками просто демонстрирует, что если бы у этой штуки было какое-то естественное значение, то оно не должно зависеть от начальной точки и скоростей в разные стороны, как например с рядами. А это не так
А наиболее естественное (после более несуществующего естественного) понимание это рассматривать строку как синтаксическую конструкцию, и начинать перемножение с соседних $x$ и $y$, а далее с одинаковым шагом. Ну это как "противоречие" между матаном и теорией множеств при определении $0^0$ и т.д.

-- 15.04.2021, 17:57 --

Vladimir-80 в сообщении #1514469 писал(а):

Это всё ложные выводы, идущие от нежелания честно проделать операции со всей бесконечностью включительно.

Так я уже провел, и получил $2$ Каждому элементу поставил слева от опорного поставил элемент справа

[Mihr]

Vladimir-80, а ещё можно на каждый $x$ брать по десятку $y$. Или только по паре. Или, скажем, по миллиарду. Или так: на каждый $y$ будем брать по триллиону $x$. Кто нам запретит? У нас неограниченный запас как иксов так и игреков. Так что делаем что хотим.
Если серьёзнее, столь простые рассуждения "на пальцах" в математике не прокатывают. Нужны более точные рассуждения. Опирающиеся на строгие определения.

[Vladimir-80]

Mihr в сообщении #1514484 писал(а):

можно на каждый $x$ брать по десятку $y$. Или только по паре. Или, скажем, по миллиарду.

Мы знаем, что слева и справа от точки соприкосновения иксов с игреками ровно одно и то же количество элементов, и сколько бы мы ни брали игреков на икс, для каждого упущенного икса всё равно найдётся пара. Взяв по два к одному, по сто к одному и как-либо ещё, мы получим всего лишь промежуточный результат, мы не доделаем работу. Это как, вычисляя $1000!$, перемножить числа от одного до двухсот, потом домножить на все нечётные от двухсот пятидесяти одного до трёхсот трёх и на все простые больше четырёхсот и на этом остановиться.

С бесконечностями строгим быть сложно. Их не пощупать руками, они существуют только у нас в голове. Какими мы их придумали - такие они и есть. Мы можем делать с ними что угодно и получать при этом всякую разную чепуху - любую практически.
Что мы знаем о данной конкретной бесконечности? Что она симметрична по построению - и значит должна быть в итоге сведена к единице. Мы её такой придумали. Другой информации у нас нет - от неё и отталкиваемся. Иначе это деление на ноль получится: возьмём отсюда группу - получим одно, оттуда группу - получим другое; это неопределённость. Но не ради неё же мы создавали эту бесконечность?

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1514490 писал(а):

Мы знаем, что слева и справа от точки соприкосновения иксов с игреками ровно одно и то же количество элементов

Не знаем.

[Vladimir-80]

Знаем. Эту бесконечность мы придумали именно такой.

[kotenok gav]

Не обязательно.

[arseniiv]

Vladimir-80 в сообщении #1514469 писал(а):

Это всё ложные выводы, идущие от нежелания честно проделать операции со всей бесконечностью включительно.

Гм. Не думал, что доживу до того, что прозрачные аргументы за неопределённость величины будут называть ложными.

Давайте начнём с того, что никто не в силах сосчитать бесконечную сумму в лоб, так же как конечную, просто потому что мы никогда не остановимся в сложении (за один раз мы можем сложить только два слагаемых, ну или если настроение хорошее, то любое конечное число; этого всё равно будет мало). Так что мы не можем иметь никакой результат. Вместо этого мы определяем значение суммы бесконечного семейства слагаемых по аналогии с тем, какие свойства есть у конечных сумм.

Если на семействе слагаемых $a \colon I \to C$ (где $C$ — какое-то наше числовое множество, а $I$ — индексы семейства) нет никакой структуры, то нас ожидает провал, как только число ненулевых слагаемых будет бесконечным. Если они все будут одного знака (и они сами из упорядоченного множества вроде $\mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R$), мы по крайней мере с достаточной пользой можем присвоить сумме значение $\infty$ какого-то знака, но если значений каждого знака бесконечно много, то остаётся руки развести. Это всё потому что у нас без дополнительной структуры мало свойств: мы можем хотеть лишь чтобы сумма конечного семейства ($|I|$ конечное) была равна обычной конечной сумме $\sum_{i \in I} a_i$, чтобы семейство из одних только нулей имело нулевую сумму и чтобы $a \sqcup b$ имело суммой $\sum a + \sum b$ ($\sqcup$ — дизъюнктное объединение).

Если на индексах есть какой-то порядок, например $I = \mathbb N$ или $I = \mathbb Z$, а на числовом множестве $C$ есть топология, мы можем воспользоваться пределами для определения сумм. Плюс здесь в том, что все суммы, определённые без учёта порядка слагаемых, как выше, при этом определении остаются определёнными и имеют те же значения. Кроме того значения появляются и у сумм других семейств, типа ряда $1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \ldots$. Для $\mathbb Z$ нам придётся похитрить, раскусив ряд на два обычных $\mathbb N$-индексированных ряда, обосновав это тем, что вольность в месте разрезания ничего не меняет, просто отнимая конечное значение от одной суммы и прибавляя к другой (если та или та существуют — и они обе должны существовать, чтобы существовала общая сумма). Не знаю, можно ли из каких-то более общих соображений её определить.

Vladimir-80 в сообщении #1514469 писал(а):

Мы же знаем, что иксов и игреков одинаково бесконечно много. Построенная бесконечная последовательность симметрична.

Но как симметричность должна что-то делать определённым? Мало смысла определить лишь избранные ряды/произведения сходящимися просто потому что без этого душе больно. Польза в сумме ряда в том, как связаны суммы связанных друг с другом рядов. Например вот берём ряд $\sum_{k \in \mathbb Z} (\mathop{\mathrm{if}} k > 0 \mathbin{\mathrm{then}} 1 \mathbin{\mathrm{else}} -1)$ и ряд $\sum_{k \in \mathbb Z} (\mathop{\mathrm{if}} k \geqslant 0 \mathbin{\mathrm{then}} 1 \mathbin{\mathrm{else}} -1)$, вычитаем из второго первый:

$$\begin{array}{r|crrrrrc} k & \cdots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & \cdots \\ \hline B_k & \cdots & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & \cdots \\ A_k & \cdots & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & \cdots \\ (B - A)_k & \cdots & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\ \end{array}$$

— и получаем ряд $\sum_{k \in \mathbb Z} (\mathop{\mathrm{if}} k = 0 \mathbin{\mathrm{then}} 2 \mathbin{\mathrm{else}} 0)$, сумма которого уж точно должна быть равна 2. Если суммы первых двух были равны 0 (попробуйте убедить кого-то, что они должны быть разными; по крайней мере если у одного сумма и 0, то у другого-то точно не ±2!)

Sicker в сообщении #1514472 писал(а):

Весь ответ содержателен

Я не говорил, что он бессодержателен, я говорил, что тест пройден удачно уже потому.

[Vladimir-80]

arseniiv в сообщении #1514513 писал(а):

Но как симметричность должна что-то делать определённым?

Как была создана обсуждаемая тут бесконечность? Я вижу это так: умножили $x$ на $y$; затем с боков добавили по соответствующему множителю; и ещё раз; и ещё раз; и так бесконечное число раз.
Теперь мы захотели вычислить наше произведение, исходя из того, что $xy=1$. Мы можем подойти к делу по-разному. Можем умножать иксы на игреки попарно, начиная с того места, откуда мы начали строить эту бесконечность. Перепишем её из головы в тетрадку мелким почерком и будем обработанные сомножители отмечать маркером. Перемножили мы сто пар, отодвинулись от нашей последовательности подальше, окинули её взглядом: сто пар отмечены маркером и превратились в единички, вправо и влево тянутся бесконечные симметричные цепочки таких же сомножителей. Перемножили ещё миллион пар, отошли ещё чуток, увидели аналогичную картину. Перемножили триллион, отодвинулись ещё дальше, окинули взглядом нашу бесконечность - красота, симметрия, идём верной дорогой.
Мы можем перемножать и иначе. Пусть на каждый $x$ мы будем умножать сразу группу из ста $y$ и так же будем отмечать обработанные сомножители маркером. Провели мы десять операций умножения, осмотрели результат: слева от точки создания нашей милой симметричной бесконечности закрашены десять иксов, справа закрашена тысяча игреков. Провели тысячу умножений, снова осмотрелись: слева закрашена тысяча иксов, справа красуется цепочка из ста тысяч закрашенных игреков. При этом слева на то же расстояние уходят и девяносто девять тысяч незакрашенных иксов. Которые нам тоже надо будет умножить. Игреков-то на это хватит - но чем дальше мы будем идти таким путём, тем больше будет перекос в степени обработки правого и левого флангов, тем дальше мы будем от нашей цели - перемножить все на все. Значит мы идём не тем путём.
Впрочем, действуя первым способом, мы едва ли закончим работу быстрее, чем действуя вторым способом. Но результат у нас при этом будет гораздо более красивым и похожим на правду.