Гипотеза существования простых близнецов на отрезке

[Soul Friend]

Лучше доказывать A171727, она строже.

[Otta]

Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):

Между $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы,

Otta в сообщении #1511543 писал(а):

А можно явно перечислить $p_1, p_2, p_3$?

Soul Friend в сообщении #1511549 писал(а):

Можно, методом решета Эратосфена.

А можно все-таки явно? Много не прошу. Первые три штуки.
Хотя нет, это неинтересно. Не первые. Давайте $p_2,p_3,p_4$.

[Soul Friend]

3, 5, 7

[Otta]

Не, это $p_1, p_2, p_3$.

[Soul Friend]

prime(1)
%1 = 2

A000040

[Otta]

Soul Friend
Спасибо, простые числа я как-нить сама. Вы нумеруете близнецы. Два элемента последовательности рядом у Вас обозначены не какие-то подряд идущие простые, а именно простые близнецы. Этим и вызван вопрос. Я могу три таких написать. 3,5,7. Дальше?

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):

Условно назовём

Явно выписывать я ничего не собирался, если вы о $\Psi_2(p_n)$.
Заменим $p_n$ на $x$

[Otta]

Не надо.
Поставьте задачу нормально, пожалуйста. Вы что-то делаете, причем как? Вводите последовательность, которая даже толком не описана, что же на основе этого можно доказать?

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1511541 писал(а):

Между $p_n\cdot p_{n+1}$ и $p_{n+1}\cdot p_{n+2}$ , где $p_n$ и $p_{n+1}$ - простые близнецы, $n$ - индекс простого числа, существует хотя бы одна пара простых чисел близнецов.

Это всё что я хотел сказать. Здесь, я надеюсь, всё ясно.

[Otta]

Нет. Правильно ли я понимаю, что $\{p_k\}$ --- последовательность простых чисел (слово "близнецы" на данном этапе лишнее)?

[Лукомор]

Soul Friend в сообщении #1511745 писал(а):

Лучше доказывать A171727
, она строже.

Лучше доказывать (imho), что хотя бы одна пара простых-близнецов найдется на интервале между
${p_n}{p_{n+1}}$
и ${p_{n+1}}{p_{n+2}}$

где
${p_n}$,
${p_{n+1}}$
и ${p_{n+2}}$
- три последовательных простых числа (не близнеца).

Кстати, такая последовательность, с первыми членами :
1, 2, 3, 3, 4, 5, 3, 7... также отсутствует в OEIS.

[Soul Friend]

Otta
Нет, имеются ввиду именно простые близнецы и следующее за ним простое число.

-- 28.03.2021, 13:41 --

Лукомор в сообщении #1511776 писал(а):

на интервале между
${p_n}{p_{n+1}}$
и ${p_{n+1}}{p_{n+2}}$

или ещё сократить, между $(p_n)^2$ и $p_np_{n+1}$.

[Лукомор]

Soul Friend в сообщении #1511777 писал(а):

или ещё сократить, между $(p_n)^2$ и $p_np_{n+1}$.

А вот-это выглядит сомнительным утверждением.
Уже для n=1 :
на интервале $(2^2 ... 2\cdot{3})$ -
нет ни одной пары простых чисел-близнецов.

[Soul Friend]

Otta
Ваше замечание справедливо, я согласен. $n$ заменить на $k$.

[Dmitriy40]

Otta
Так я же показывал вывод своей программы, там левая граница интервала как раз произведение пары простых близнецов, Вы разве не этого хотите? Да и Soul Friend чуть далее тоже показал вывод, там меньшее из чисел пары видно.

Лукомор
Это легко снимается дополнением формулировки "... для всех $n>1$" или любой другой конечной константы.