Весы и часы

[Munin]

Шимпанзе в сообщении #151015 писал(а):

Почему до Вас еще не дошло

Почему вы пьёте коньяк по утрам?

[Шимпанзе]

Munin писал(а):

Шимпанзе в сообщении #151015 писал(а):

Почему до Вас еще не дошло

Почему вы пьёте коньяк по утрам?

По кочану.

[powerZ]

Munin писал(а):

powerZ в сообщении #150807 писал(а):

$ y_1- y_2 = ... = x'' \cdot m_1 / k $

Отлично. Отсюда следует, что весы показывают ровно вес с учётом ускорения центра тяжести.

Кстати к такому же выводу можно прийти, если считать силу трения не константой, а любой произвольной функцией Q(x,y)

Ну а раз речь идет о водяных часах, то вода в них течет равномерно? Или с часами в топик стартере что-то не то?

kio писал(а):

Есть водяные часы (то есть вода из верхней части сосуда через узкое горлышко перетекает в нижнюю часть сосуда).

[Munin]

powerZ в сообщении #151047 писал(а):

Кстати к такому же выводу можно прийти, если считать силу трения не константой, а любой произвольной функцией Q(x,y)

Разумеется, потому что это следствие более общего правила, которое я давно уже сказал.

powerZ в сообщении #151047 писал(а):

Ну а раз речь идет о водяных часах, то вода в них течет равномерно? Или с часами в топик стартере что-то не то?

Тут фишка в том, что вода течёт равномерно, но в результате центр тяжести смещается неравномерно. Уровень в верхнем сосуде понижается, а в нижнем повышается, и из-за этого высота, на которую масса переносится с константным потоком, становится со временем всё меньше и меньше. Скорость центра тяжести уменьшается.

[powerZ]

Всё, кажется решил . Результат для меня оказался неожиданный - часы должны быть тяжелее пока течет вода. Причем вовсе не из-за ускорения! Вот мое решение:

Пусть есть два груза $m_1$ и $m_2$ с координатами $x1$ и $x2$. Они взаимодействуют с чашкой весов $y$ посредством сил $F1$ и $F2$. Массы могут меняться (не являются константой):

$(m_1 x_1)'' = - m_1 g + F1$
$(m_2 x_2)'' = - m_2 g + F2$

для весов запишем:

$0=-ky-F1-F2$

тогда, подставляя F1 и F2:

$0=-ky- m_1 g - (m_1 x_1)'' - m_2 g - (m_2 x_2)''$

Пусть теперь массы меняется по закону:

$m_1=M-at => m_1'=-a => m_1''=0$
$m_2=at => m_2'=a => m_2''=0$

А координаты:

$x_1=x_1(0)-bt => x_1'=-b => x_1''=0$
$x_2=x_2(0)+bt => x_2'=b => x_2''=0$

Считаем, что весы уравновешены, и показывают некий постоянный вес, соответствующий координате $y$. Тогда, если учесть что

$(uv)''=(u'v+v'u)'=u''v+2u'v'+v''u$,

получаем:

$2m_1'x_1'+2m_2'x_2'=-ky-Mg$,

где $M=m_1+m_2$

откуда:

$4ab=-ky-Mg$

или

$y =-(Mg + 4ab)/k$

[Архипов]

powerZ в сообщении #151108 писал(а):

Всё, кажется решил . Результат для меня оказался неожиданный - часы должны быть тяжелее пока течет вода. Причем вовсе не из-за ускорения! Вот мое решение:

Изменение веса тела изменить можно только из-за ускорения его части. Так как скорость части тела сначала возрастает от 0, затем падает до 0. Пока вертикальная скорость части тела возрастает - общий вес тела меньше первоначального, когда скорость уменьшается - вес тела больше превоначального. Когда процесс закончится - вес станет первоначальным. Станем на весы, поднимем руки вверх, успокоимся. Начинаем опускать руки - весы покажут уменьшение веса, потом покажут прежний вес(если руки опускаем равномерно).Заканчиваем опускание рук - весы покажут увеличение веса, потом покажут прежний вес. Если половину времени опускания рук их опускать с ускорением, а вторую половину времени опускать с торможением, то весы покажут в первую половину меньший вес, во вторую половину - больший, чем первоначальный вес. После завершения процесса - прежний вес. Пока скорость части тела изменяется - вес отличен от первоначального.
С водой или песком: в первый момент поток ускоряется - весы покажут уменьшение, затем -прежний вес (пока расход постоянен). В последний момент поток тормозится - весы покажут увеличение, затем - прежний вес.
"Довесок" зависит от расхода воды или песка в единицу времени. Без формул.

[Шимпанзе]

Архипов в сообщении #151141 писал(а):

Изменение веса тела изменить можно только из-за ускорения его части.

Вы умышленно вместо ускорения центра тяжести пишите "ускорение его части"? В моем примере, с приседающим человеком на платформе весов, в Вашем примере с поднятием рук, ускоренно все же меняется центр тяжести человека.

Добавлено спустя 5 минут 58 секунд:

Архипов в сообщении #151141 писал(а):

С водой или песком: в первый момент поток ускоряется - весы покажут уменьшение

Поток не ускоряется, начальная скорость выброса песка из верхней части весов постоянна.

[powerZ]

Архипов в сообщении #151141 писал(а):

С водой или песком: в первый момент поток ускоряется - весы покажут уменьшение, затем -прежний вес (пока расход постоянен). В последний момент поток тормозится - весы покажут увеличение, затем - прежний вес.

У меня рассматривается ситуация, когда расход воды постоянен.

Архипов в сообщении #151141 писал(а):

"Довесок" зависит от расхода воды или песка в единицу времени. Без формул.

Довесок зависит от скорости расхода воды и скорости сближения центров масс верхней и нижней емкостей. Согласно формулам.

P.S. Может быть можно как нибудь выразить это через ускорение общего центра масс. Пока не знаю.

[Шимпанзе]

powerZ в сообщении #151148 писал(а):

P.S. Может быть можно как нибудь выразить это через ускорение общего центра масс. Пока не знаю.

О , наконец! Оставьте силы трения, коэффициенты упругости и прочие глупости, не имеющие никакого отношения к задаче. И напишите простую формулу ma = mg - P, где P давление на чашку весов ( реакция со стороны чашки), то есть вес часов. И всё! Но, опять таки, дело не в этом. Уже ранее писал...И расчет даже дал.

[powerZ]

powerZ в сообщении #151148 писал(а):

P.S. Может быть можно как нибудь выразить это через ускорение общего центра масс. Пока не знаю.

Теперь знаю:

$x=(x_1m_1+x_2m_2)/M$ - координата центра масс

Подставляя соотношения для $x_1$ и $x_2$ найдем:

$x=x_1(0) - b (m_1-m_2)t/M$

тогда, зная что $m1-m2=M - 2at$,

окончательно получим для координаты $x$

$x=x_1(0) - b t + 2 a b t^2 / M $

То есть ускорение центра масс равно $ 4ab/M$

А поскольку мы уже знаем, что

$y=-M(g+x'')/k$,

То делам аналогичный вывод, что часы будут тяжелее пока течет вода, т.к. ускорение направлено вверх, скорость центра масс уменьшается.

$y=-(Mg+4ab)/k$

Ну теперь вроде всё

[Someone]

powerZ писал(а):

$(m_1 x_1)'' = - m_1 g + F1$
$(m_2 x_2)'' = - m_2 g + F2$

А это точно так? Уравнение Мещерского, вроде бы, другое.

[Шимпанзе]

Someone писал(а):

powerZ писал(а):

$(m_1 x_1)'' = - m_1 g + F1$
$(m_2 x_2)'' = - m_2 g + F2$

А это точно так? Уравнение Мещерского, вроде бы, другое.

Да , они до этого уровня еще и не дошли. Обсуждают совсем другую вещь .

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Вот здесь уже в интегральной форме уравнение Мещерского , при условии, что скорость «выхода» песка из верхней части равна нуль.

Шимпанзе в сообщении #150053 писал(а):

Пусть параметры струи будут следующие h, s, v – скорость падения песка, ρ – объемная плотность песка. Тогда сила , обусловленная импульсом от падения песка равна f= ρs v^2 (исходя из классики ft=mv, далее m= ρvst) . Или f = 2 (ρghs). , то есть эта сила в точности в два раза больше веса песка находящегося между колбами. Следовательно, при движении песка вес часов не должен меняться! Часы, действительно, должны лишь чуть подпрыгнуть на весах вверх при старте и чуть опуститься при финише.

[powerZ]

Someone в сообщении #151163 писал(а):

А это точно так? Уравнение Мещерского, вроде бы, другое.

Да? А чем это отличается от того что я написал?

Кстати я же уже привел альтернативный вариант - через ускорение общего центра масс. Ответ совпадает.

Добавлено спустя 25 минут 14 секунд:

Шимпанзе, дались вам эти песочные часы. Мы же о водяных говорим. Вы подумайте лучше, что в водяных часах вода может течь вовсе и не вертикально, а например по трубке, которая присоединена к сосудам сбоку.

[Шимпанзе]

powerZ в сообщении #151257 писал(а):

Шимпанзе, дались вам эти песочные часы. Мы же о водяных говорим. Вы подумайте лучше, что в водяных часах вода может течь вовсе и не вертикально, а например по трубке, которая присоединена к сосудам сбоку.

Вам тоже не мешает подумать, в сущность задачи Вы пока не вникли.

[powerZ]

Шимпанзе в сообщении #151308 писал(а):

Вам тоже не мешает подумать, в сущность задачи Вы пока не вникли.

Я её решил. Причем двумя способами.