Гравитационное поле внутри массивной сферы

[realeugene]

Geen в сообщении #1510803 писал(а):

И даже "сшивка" по "границе карт" вполне стандартный приём в диффгеме и не требует никакой "непрерывности" самих координат.

Сшивка по перехлёсту на границе карт? В области перехлёста отображение должно быть дифференцируемо?

[Geen]

realeugene в сообщении #1510870 писал(а):

Сшивка по перехлёсту на границе карт?

По границе между картами.

[realeugene]

Geen в сообщении #1510878 писал(а):

По границе между картами.

Без касательных пространств в точках границы?

[Someone]

epros в сообщении #1510777 писал(а):

Статичная метрика внутри со Шварцшильдовской метрикой снаружи через пылевой слой никак не сошьётся.

Задача о статической сферической оболочке на форуме уже рассматривалась.

-- Ср мар 24, 2021 22:44:45 --

Условия склейки карт не требуют непрерывности метрического тензора.

[realeugene]

Dmitriy40 в сообщении #1510826 писал(а):

А то с подачи realeugene уже запутался в "парадоксах", типа "импульс входит в ТЭИ, но в сферически симметричном случае на поле не влияет".

Честно говоря, я сам это до конца не понимаю, но в Шварцшильде присутствует только масса гравитирующей материи, которая не зависит от радиального движения материи, но, могу предположить, что зависит от ей начальной массы и начальной радиальной скорости.

По идее, если некоторое количество пыли изначально движется к центру с большой радиальной скоростью, кинетическая энергия материи должна включаться в массу в Шварцшильде.

[Dmitriy40]

(Всё бОльшая путаница с глупым вопросом)

Угу, ибо есть знаменитый "казус" с двумя встречными фотонами, система которых обладает создаёт гравитационное поле (и может даже образовать чёрную дыру, Munin чётко об этом говорил). А фотоны массой не обладают, значит гравитацию создаёт их импульс.
Но тогда ровно то же должно быть справедливо и для внутренних напряжений. И поле нейтронной звезды будет отличаться от поля исходной водородной звезды той же массы. Но как распространить изменения без сферических гравитационных волн не представляю. Если только это не гравитационная волна, а "волна распространения изменения потенциала", которой быть сферической ничего не запрещает ... (Если конечно не пургу несу.) Да и как бы тоже слышал что в решение Шварцшильда входит лишь масса. Может там постулированы нулевые импульсы и напряжения? Но вот по ссылке Someone такого постулата не заметил, вроде там в ТЭИ напряжения (как внутреннее давление) вполне себе присутствуют, а как минимум снаружи у него явно Шварцшильд, внутри же вообще Минковский (последнее впрочем не удивительно).

Наверное правильным ответом на мой вопрос будет всё же "да, и импульсы и напряжения учитываются, в ТЭИ материи, который следует например из уравнения её состояния". Иначе "парадоксы" множатся без конца и края.

[schekn]

realeugene в сообщении #1510989 писал(а):

но в Шварцшильде присутствует только масса гравитирующей материи,

В Шварцшильде присутствует постоянная интегрирования $r_g$ . Связь с массой появляется при сравнении с ньютоновской механикой для удаленного наблюдателя.

[epros]

Someone в сообщении #1510973 писал(а):

Задача о статической сферической оболочке на форуме уже рассматривалась
.

-- Ср мар 24, 2021 22:44:45 --

Условия склейки карт не требуют непрерывности метрического тензора.

Как хотите, конечно, но меня вариант с разрывной метрикой не устраивает. Хотелось бы видеть одно решение в общих координатах для всего многообразия, включая выражение для ТЭИ в этих координатах. И такие решения есть.

Dmitriy40 в сообщении #1510998 писал(а):

А фотоны массой не обладают, значит гравитацию создаёт их импульс.

Как ни странно, пара встречных фотонов массой обладает.
Кстати, чёрную дыру теоретически можно образовать не только фокусированием в точку фотонов, но и гравитонов. Что особенно интересно с точки зрения того, что ТЭИ нулевой везде в процессе коллапса.

-- Чт мар 25, 2021 10:55:25 --

Someone в сообщении #894305 писал(а):

Например, возьмём метрику Минковского в сферических координатах

$$ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)$$

и в области $r>r_1$ сделаем замену радиальной координаты по формуле $r=\frac 12(r'+r_1)$, причём, "чтобы не загромождать обозначения", будем писать просто $r$ вместо $r'$. Получим

$$ds^2=\begin{cases}c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }0\leqslant r\leqslant r_1,\\ c^2dt^2-\frac 14dr^2-\frac 14(r+r_1)^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2)\text{ при }r>r_1.\end{cases}$$

Кто-нибудь хочет сказать, что пространство-время Минковского испортилось от такой замены координат, и "склейка" стала некорректной?

Я бы сказал, что от такой замены "испортилась" координатная сетка, хотя и не фатально. Это то же самое, что вместо декартовых координат на плоскости выбрать координатную сетку, у которой в области $x<0$ масштаб по $x$ становится внезапно вдвое меньше. Не фатально, но неудобно. И зачем это, если этого можно легко избежать приведением масштабов в соответствие?

-- Чт мар 25, 2021 11:01:47 --

Неудобство заключается, например, в том, что при дифференцировании разрывной метрики возникают обобщённые функции. А для нахождения ТЭИ метрику нужно дифференцировать дважды, что создаёт неудобства. Если метрика непрерывна, то дельта-функция возникает только при втором дифференцировании, что для ТЭИ бесконечно тонкой оболочки вполне естественно.

[Someone]

epros в сообщении #1511026 писал(а):

Неудобство заключается, например, в том, что при дифференцировании разрывной метрики возникают обобщённые функции.

И что же делать, если тензор энергии-импульса при наличии поверхностного слоя содержит обобщённую функцию?

[realeugene]

Someone в сообщении #1511040 писал(а):

И что же делать, если тензор энергии-импульса при наличии поверхностного слоя содержит обобщённую функцию?

Да, для ТЭИ с дельта-функцией метрика должна быть разрывной, так как интеграл по контуру сколь угодно малой площади и равной угловой ширины, проходящему сверху и снизу от слоя, должен быть ненулевым. Но обобщённый ТЭИ, вообще, осмыслен? Предельный переход одного и того же количества пыли к тонкому слою даёт одинаковый результат по разным путям? Если в пределе метрика разрывная и разная сверху и снизу, а в ТЭИ входит объём, занимаемый веществом?

-- 25.03.2021, 13:23 --

physicsworks в сообщении #1510686 писал(а):

Почему необдуманное привлечение теоремы Биркгофа на этот случай ведет к проблемам, обсуждается здесь.

Если метрика на тонком слое разрывна, то и статья по ссылке ошибочна.

[epros]

Someone в сообщении #1511040 писал(а):

И что же делать, если тензор энергии-импульса при наличии поверхностного слоя содержит обобщённую функцию?

В задаче с тяготеющей сферой это так и есть. Тем не менее, когда метрика внутри совпадает с метрикой снаружи, можно понять, в каких координатах получено выражение для ТЭИ.

А с разрывной метрикой особенности возникают прямо-таки на пустом месте, где никакой материи и не предполагалось. Как в таком случае можно посчитать ТЭИ я просто не представляю.

realeugene в сообщении #1511055 писал(а):

Да, для ТЭИ с дельта-функцией метрика должна быть разрывной

Нет, это не так. Разрывна только связность, метрика просто не гладкая.

[realeugene]

epros в сообщении #1511058 писал(а):

Нет, это не так. Разрывна только связность, метрика просто не гладкая.

Да, конечно же: при параллельной переносе по углу в Шварцшильде над тяготеющим слоем переносимый вектор вращается медленнее, чем угловая координата точки. А в Минковском под слоем - с такой же угловой скоростью. И за один оборот по большому кругу в Минковском тестовый вектор, тоже, совершит полный поворот, а в Шварцшильде - неполный. Так что, связность неизбежно на слое разрывна, и её производные дают дельта-функции в тензор Риччи, необходимые для выполнения уравнений Эйнштейна с дельта-функциями в ТЭИ. Но координаты возможно продолжить через тяжелый слой с сохранением непрерывности самой метрики.

[epros]

realeugene в сообщении #1511068 писал(а):

И за один оборот по большому кругу в Минковском тестовый вектор, тоже, совершит полный поворот, а в Шварцшильде - неполный. Так что, связность неизбежно на слое разрывна, и её производные дают дельта-функции в тензор Риччи, необходимые для выполнения уравнений Эйнштейна с дельта-функциями в ТЭИ.

Насколько я помню, разрыв в тех чисто пространственных компонентах связности, о котором Вы говорите, соответствует как раз массовому члену ТЭИ ($T_{tt}$). Так что, как ни странно, масса слоя оказывается непосредственно связана кривизной пространственного трёхмерия, а не с силами тяготения, как в Ньютоновской механике. С разрывом компонент связности, отвечающих за ускорение свободного падения, оказываются связаны компоненты $T_{\theta \theta}$ и $T_{\varphi \varphi}$.

[realeugene]

epros в сообщении #1511096 писал(а):

С разрывом компонент связности, отвечающих за ускорение свободного падения, оказываются связаны компоненты $T_{\theta \theta}$ и $T_{\varphi \varphi}$.

Да, любопытно. Чтобы тяжелая оболочка была устойчивой, в ней должны быть напряжения. Которые непосредственно и вызывают скачок ускорения сободного падения. Всё связано со всем.

[Geen]

epros в сообщении #1511058 писал(а):

где никакой материи и не предполагалось

Ну и какие проблемы? Требуем совпадения индуцированных метрик и совпадения тензоров внешней кривизны. Этого достаточно для связи систем координат в областях по разные стороны поверхности.