Не гладкая кривая, которая гладкая в каждой точке

[misha.physics]

Здравствуйте.
Читаю "Дифференциальную геометрию: Первое знакомство" Э. Позняка. Есть пример: кривая

$$y=\begin{cases} x^2\cos\displaystyle{\frac{1}{x}},&x\neq0,\\ 0,&x=0, \end{cases}$$

гладкая в любой своей точке, но никакая окрестность точки $O(0,0)$ не является гладкой кривой.
Наша кривая осциллирует при малых $x$, а в точке $x=0$ терпит интуитивно понимаемый разрыв. Но пользуясь определениями в той же книге я не могу себе этого наглядно представить.

Если кривая гладкая в каждой своей точке, то в каждой такой точке существует касательная и некоторая окрестность каждой точки кривой однозначно проектируется на эту касательную. Кривая называется гладкой, если она является гладкой в каждой точке и касательные в точках кривой изменяются непрерывно. 1-е условие для нашей кривой выполняется, значит не выполняется 2-е, то есть, касательные не меняются непрерывно. Если например кривая имеет излом, то кривая не будет гладкой поскольку она не будет гладкой в точке излома и понятно, что касательная не будет непрерывно менятся. Значит у нашей кривой какая-то другая особенность, которую я не могу визуализировать.

[vpb]

misha.physics в сообщении #1510277 писал(а):

которую я не могу визуализировать.

см. Фихтенгольц, (трехтомник), гл.2, в конце п.54 есть два рисунка. Один $\sin 1/x$, она вообще имеет разрыв в нуле. Вторая $x\sin 1/x$, она в нуле непрерывна, но производная в нуле не определена и при стремлении к нулю сильно скачет. Той, которая $x^2\cos 1/x$, там нет. Это аналогичная кривая, заключенная между двумя параболами $y=x^2$ и $y=-x^2$. У нее производная везде есть, но в нуле эта производная разрывна.

[StepV]

misha.physics в сообщении #1510277 писал(а):

Значит у нашей кривой какая-то другая особенность, которую я не могу визуализировать.

Есть хороший построитель графиков функций http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php. Его можно использовать для наглядной проверки поведения функций.
Если поищете в Интернете, может быть найдете более интересный для себя.

[misha.physics]

vpb, спасибо, нашёл, я себе так график и представлял, но не додумался, что функция действительно непрерывна в нуле (предел и значение в нуле равны). Понял, что производная не будет непрерывной в нуле.

vpb в сообщении #1510279 писал(а):

Вторая $x\sin 1/x$, она в нуле непрерывна

А, точно. Здесь ещё нужно доопределить, что эта функция равна нулю в нуле.
StepV, спасибо.

-- 21 мар 2021, 10:39 --

Вопрос решён.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1510277 писал(а):

Наша кривая осциллирует при малых $x$, а в точке $x=0$ терпит интуитивно понимаемый разрыв.

Нету там (у функции) разрыва. Разрыв вида $\sin \frac{1}{x}$ есть у её производной. Поэтому функция непрерывна везде, и гладкая везде, кроме нуля.

А вот что функция

$$y=\begin{cases} x^3\cos\displaystyle{\frac{1}{x}},&x\neq0,\\ 0,&x=0, \end{cases}$$

В нуле не только непрерывна, но и гладкая - действительно контринтуитивно, имхо.

[misha.physics]

EUgeneUS в сообщении #1510303 писал(а):

Нету там (у функции) разрыва. Разрыв вида $\sin \frac{1}{x}$ есть у её производной.

Ой, да. Я тогда мыслил о разрыве, как о факте, что функция задается условием, а не как о термине, что разрыв это отсутствие непрерывности.

EUgeneUS в сообщении #1510303 писал(а):

В нуле не только непрерывна, но и гладкая - действительно контринтуитивно, имхо.

Ну можно себе представлять, что в окрестности нуля график $x^3$ прижимается к оси абсцисс сильнее, чем график для быстроты (первой производной) колебаний $\cos{(1/x)}$. Но я понимаю, что не все можно (и нужно) представлять себе наглядно.

[misha.physics]

misha.physics в сообщении #1510316 писал(а):

Ну можно себе представлять, что в окрестности нуля график $x^3$ прижимается к оси абсцисс сильнее, чем график для быстроты (первой производной) колебаний $\cos{(1/x)}$. Но я понимаю, что не все можно (и нужно) представлять себе наглядно.

Ой, это я брееед написал. Прошу прощения