2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЭДС в двух витках.
Сообщение02.03.2021, 18:28 


14/01/09
86
Есть задача.
Цитата:
Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. all © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc
Problem 7.3

Consider two fixed loops of wire, each carrying the same current I(t). Show that the emf induced in coil 1 by coil 2 is identical to the emf induced in coil 2 by coil 1, an example of a reciprocity relation. Hint: Consider (7.8) and the vector potential for current loops (7.10).
$\Phi = \int\limits_{area}^{} \vec{B} d\vec{S} = \int\limits_{area} (\vec{\nabla} \times \vec{A}) d\vec{S} = \oint\limits_{}^{} d\vec{l} \vec{A} (7.8)$

$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{I d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert} (7.10)$

emf - ЭДС индкуции в катушке по закону Фарадея.

Насколько я понял, то надо выразить векторный потенцила одной катушки по (7.10), проинтегрировав по контуру катушки, а затем выразит поток в (7.8) (там тоже по контуру проинтегрировать) и найти поток. А потом взять поизводную по времени, должна появиться производная $I'(t)$.

Правда у меня 2 вопроса.
Насколько я понял эти витки не соединены? Т.е. не водной цепи.

Если катушки не соединены и $I(t)$ одинаково в обоих катушках, то изменение потока магнитной индукции в катушке 2 за счет первой катушки будет приводить к изменению $I(t)$ во второй катушке? Что в итоге будет приводить к изменению $I(t)$ во 2 катушке?

В общем мне кажется я, возможно, пытаюсь все усложнить. И видимо автор просто хотел показать свойство симметрии. Однако это ведь очевидно. Или я что-то упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение02.03.2021, 18:33 


27/08/16
9426
Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):
И видимо автор просто хотел показать свойство симметрии.

Геометрической симметрии может и не быть. Витки разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение02.03.2021, 19:08 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):
Насколько я понял,

Вы не совсем точно поняли. Вот с этого места:
Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):
А потом взять поизводную по времени, должна появиться производная $I'(t)$.


С производной по времени всё просто на самом деле.

ЭДС создаваемая во второй катушке током в первой катушке:
$e_{12} = -\frac{d \Phi_{12}}{d t}$, где $\Phi_{12}$ - поток создаваемый во второй катушке током в первой катушке. Так как все линейно, то этот поток пропорционален току в первой катушке:
$e_{12} = -M_{12}\frac{d I_1}{d t}$, где $M_{12}$ коэффициент взаимной индукции от первой ко второй катушке.

Аналогично, ЭДС создаваемая в первой катушке током во второй катушке:
$e_{21} = -\frac{d \Phi_{21}}{d t} = -M_{21}\frac{d I_2}{d t}$

Вам нужно доказать, что если токи одинаковые ($I_1=I_2=I$), то и ЭДС одинаковые: $e_{12}=e_{21}$, причем предлагается это сделать из равенства $-\frac{d \Phi_{12}}{d t} = -\frac{d \Phi_{21}}{d t}$.
Из которого следует: $\Phi_{12} = \Phi_{21} + C$. А так как при $I=0$ оба потока обращаются в ноль, то $C = 0$.

Вот и докажите, что $\Phi_{12} = \Phi_{21}$ через векторный потенциал и данные подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение02.03.2021, 21:27 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
UPD:$\Phi_{12} = \Phi_{21}$, как нетрудно видеть, будет означать $M_{12}=M_{21}$. Факт широко известный под названием "принцип взаимности". И широко применяемый, например, в теории цепей.
Однако, факт нетривиальный и довольно тяжело доказываемый без привлечения векторного потенциала.
С данными же подсказками доказательство оказывается тривиальным.
Достаточно понять, что написано в правых частях (7.8) и (7.10), и записать одно равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 16:28 


14/01/09
86
Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):
$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{I d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert} (7.10)$

У меня только вопрос по формуле (7.10).

Почему там появляется вектор слева?

Если рассмотреть пример $I(t) = I$
Если $I$ постоянное, то его можно вынести из под знака интеграла.

$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0 I }{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{ d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert}$
Тогда каким образом определяется направление этого вектора? В знаменателе модуль вектора. Суммируется касательные векторы во всех точках контура, по которому делается обход.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 18:54 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Anton_74 в сообщении #1507637 писал(а):
Если рассмотреть пример $I(t) = I$
Если $I$ постоянное, то его можно вынести из под знака интеграла.


Ну да, электродинамика вынеслась из-под интеграла, осталась одна геометрия.
Обратите внимание, что если виток не двигается, то в 7.10 под знаком интеграла от времени может зависеть только $I(t)$, и мы можем точно так же его вынести. Главное, чтобы $I$ не менялся вдоль контура, по которому интегрируем.

Anton_74 в сообщении #1507637 писал(а):
Почему там появляется вектор слева?


Если мы суммируем очень много маленьких векторов, то что у нас должно получиться? Не скаляр же.

Представить это себе можно так.
1. Разбиваем наш контур на кучу (на $N$) маленьких кусочков $\Delta l_i$, для простоты одинаковых: $\Delta l_i = \frac{l}{N}$, где $l$ - длина контура, $i$ - номер кусочка от $1$ до $N$.
2. Для каждого кусочка, например в его начале, находим единичный вектор касательной $\vec{n}_i$
3. Умножаем его на длину этого кусочка: $\frac{l \vec{n_i}}{N}$
4. Умножаем на некую скалярную функцию, зависящую от координат: $\frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l  \vec{n_i}}{N}$, где $\vec{r_i}$ - радиус вектор-до $i$-го кусочка, а $\vec{r'}$ - радиус-вектор до точки для которой считаем векторный потенциал.
5. Все суммируем: $\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N}$
6. Переходим к интегралу, как пределу этой суммы при $N \to \infty$

$$ \vec{A}(\vec{r'}) = \lim\limits_{N \to \infty}^{} \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N} = \oint\limits_{L}^{} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \vec{d l}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 20:51 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):
Насколько я понял эти витки не соединены? Т.е. не водной цепи.

Если ток один и тот же, то это соединенные последовательно витки (или ничем не отличающиеся от соединенных последовательно).

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 21:39 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Совершенно неважно, соединены витки или нет.

Это могут быть разные витки, в первый из которых вчера запустили ток $I_1(t)$, а во второй - сегодня ток $I_2(t) = I_1(t-24 \text{h})$
Тогда и эдс будут равны со сдвигом в 24 часа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 21:59 


14/01/09
86
EUgeneUS в сообщении #1507660 писал(а):
$$ \vec{A}(\vec{r'}) = \lim\limits_{N \to \infty}^{} \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N} = \oint\limits_{L}^{} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \vec{d l}$$

Спасибо за подробный ответ.

У меня просто не укладывалось, как этот вектор формировался. Ну просто если рассмотреть виток в некоторой плоскости, то все вектора $\vec{dl}$ будут лежать в этой плоскости. Мне кажется очевидным, что если складывать вектора, которые лежат в плоскости, то получится вектор, также лежащий в этой плоскости. Но по смыслу векторного потенциала $\vec{A}(\vec(r))$, то он не должен лежать в плоскости. Или я опять что-то упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение03.03.2021, 22:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Мы можем посчитать векторной потенциал для любой точки - радиус-вектор $\vec{r'}$ (в моих обозначениях выше) можно выбрать любым.
Поэтому, конечно, нельзя говорить, что "векторный потенциал лежит в одной плоскости".
Но Вы сделали хорошее наблюдение: если имеем плоский контур, то вектор векторного потенциал лежит в плоскости
а) проходящей через заданную точку $\vec{r'}$ (для которой его и считаем)
б) и параллельной плоскости, в которой лежит контур.

Наблюдение хорошее, то в данной задаче не помогает.
Так как для решения уже всё и так есть. Нужно только аккуратно ввести обозначения для двух контуров, два раза подставить (7.10) в (7.8) и убедиться, что получится одно и то же.

-- 03.03.2021, 22:33 --

UPD:
EUgeneUS в сообщении #1507742 писал(а):
Мы можем посчитать векторной потенциал для любой точки - радиус-вектор $\vec{r'}$ (в моих обозначениях выше) можно выбрать любым.


не совсем для любой - на самом контуре нельзя выбирать, иначе интеграл разойдётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение17.03.2021, 17:47 


14/01/09
86
EUgeneUS в сообщении #1507471 писал(а):
Вот и докажите, что $\Phi_{12} = \Phi_{21}$ через векторный потенциал и данные подсказки.


Допустим есть два витка $L_1, L_2$.
Рассмотрим элементарные вектора этих контуров $d\vec{l_1}, d\vec{l_2}$, $\vec{r_1}, \vec{r_2}$ - радиус вектора этих элементарных векторов.

Тогда векторный потенциал создаваемый контуром $L_1$ для $d\vec{l_2}$ в положении $\vec{r_2}$ равняется:

$\vec{A}_{21}(d\vec{l_2}(\vec{r_2})) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_1} \frac{I(t))d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$.

Поток во втоом викте $L_2$ создаваемый первым виктом $L_1$:

$\Phi_{21} = \int_{area_2} \vec{B}_{21} d\vec{S_2} = \int_{area_2} (\vec{\nabla \times} \vec{A}) d\vec{S_2} = \oint_{L_2} d\vec{l_2} \vec{A}_{21} = \oint_{L_2} d\vec{l_2}  \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_1} \frac{I(t))d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{\mu_0 I(t)}{4 \pi} \oint_{L_2} d\vec{l_2} \oint_{L_1} \frac{d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$

То же самое векторный потенциал создаваемый контуром $L_2$ для $d\vec{l_1}$ в положении $\vec{r_1}$ равняется:

$\vec{A}_{12}(d\vec{l_1}(\vec{r_1})) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_2} \frac{I(t))d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$.

Поток во втоом викте $L_1$ создаваемый вторым виктом $L_2$:

$\Phi_{12} = \int_{area_1} \vec{B}_{12} d\vec{S_1} = \int_{area_1} (\vec{\nabla \times} \vec{A}) d\vec{S_1} = \oint_{L_1} d\vec{l_1} \vec{A}_{12} = \oint_{L_1} d\vec{l_1}  \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_2} \frac{I(t))d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{\mu_0 I(t)}{4 \pi} \oint_{L_1} d\vec{l_1} \oint_{L_2} \frac{d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$

Вопрос: если можно менять порядки интегрирования, то задача решена?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение17.03.2021, 21:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Anton_74 в сообщении #1509767 писал(а):
Вопрос: если можно менять порядки интегрирования, то задача решена?

Да, всё верно. Кроме правописания :D.
Обозначения Вы ввели удачно, это позволило всё наглядно показать, но вот тут, имхо, не очень:
Anton_74 в сообщении #1509767 писал(а):
$\vec{A}_{21}(d\vec{l_2}(\vec{r_2})) = ... $.

$\vec{A}_{21}$ - это потенциал в точке контура $L_2$, то есть в $\vec{r_2}$. А то, что в этой же точке расположен элемент контура $\vec{l_2}$ - это уже дело следующее. Поэтому, имхо, аккуратнее записать проще:
$\vec{A}_{21}(\vec{r_2}) = ... $
На выкладки это не повлияло, так что можете считать придирками :wink:

В данном случае менять порядок интегрирования можно (и нужно).

(Оффтоп)

Но математически строго доказать это, моих остаточных знаний уже не хватит :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭДС в двух витках.
Сообщение17.03.2021, 21:51 


14/01/09
86
EUgeneUS в сообщении #1509801 писал(а):
Да, всё верно. Кроме правописания :D.

Кстати, да непривычно получилось.
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group