ЭДС в двух витках.

[Anton_74]

Есть задача.

Цитата:

Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. all © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc
Problem 7.3

Consider two fixed loops of wire, each carrying the same current I(t). Show that the emf induced in coil 1 by coil 2 is identical to the emf induced in coil 2 by coil 1, an example of a reciprocity relation. Hint: Consider (7.8) and the vector potential for current loops (7.10).
$\Phi = \int\limits_{area}^{} \vec{B} d\vec{S} = \int\limits_{area} (\vec{\nabla} \times \vec{A}) d\vec{S} = \oint\limits_{}^{} d\vec{l} \vec{A} (7.8)$

$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{I d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert} (7.10)$

emf - ЭДС индкуции в катушке по закону Фарадея.

Насколько я понял, то надо выразить векторный потенцила одной катушки по (7.10), проинтегрировав по контуру катушки, а затем выразит поток в (7.8) (там тоже по контуру проинтегрировать) и найти поток. А потом взять поизводную по времени, должна появиться производная $I'(t)$.

Правда у меня 2 вопроса.
Насколько я понял эти витки не соединены? Т.е. не водной цепи.

Если катушки не соединены и $I(t)$ одинаково в обоих катушках, то изменение потока магнитной индукции в катушке 2 за счет первой катушки будет приводить к изменению $I(t)$ во второй катушке? Что в итоге будет приводить к изменению $I(t)$ во 2 катушке?

В общем мне кажется я, возможно, пытаюсь все усложнить. И видимо автор просто хотел показать свойство симметрии. Однако это ведь очевидно. Или я что-то упускаю?

[realeugene]

Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):

И видимо автор просто хотел показать свойство симметрии.

Геометрической симметрии может и не быть. Витки разные.

[EUgeneUS]

Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):

Насколько я понял,

Вы не совсем точно поняли. Вот с этого места:

Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):

А потом взять поизводную по времени, должна появиться производная $I'(t)$.

С производной по времени всё просто на самом деле.

ЭДС создаваемая во второй катушке током в первой катушке:
$e_{12} = -\frac{d \Phi_{12}}{d t}$, где $\Phi_{12}$ - поток создаваемый во второй катушке током в первой катушке. Так как все линейно, то этот поток пропорционален току в первой катушке:
$e_{12} = -M_{12}\frac{d I_1}{d t}$, где $M_{12}$ коэффициент взаимной индукции от первой ко второй катушке.

Аналогично, ЭДС создаваемая в первой катушке током во второй катушке:
$e_{21} = -\frac{d \Phi_{21}}{d t} = -M_{21}\frac{d I_2}{d t}$

Вам нужно доказать, что если токи одинаковые ($I_1=I_2=I$), то и ЭДС одинаковые: $e_{12}=e_{21}$, причем предлагается это сделать из равенства $-\frac{d \Phi_{12}}{d t} = -\frac{d \Phi_{21}}{d t}$.
Из которого следует: $\Phi_{12} = \Phi_{21} + C$. А так как при $I=0$ оба потока обращаются в ноль, то $C = 0$.

Вот и докажите, что $\Phi_{12} = \Phi_{21}$ через векторный потенциал и данные подсказки.

[EUgeneUS]

UPD:$\Phi_{12} = \Phi_{21}$, как нетрудно видеть, будет означать $M_{12}=M_{21}$. Факт широко известный под названием "принцип взаимности". И широко применяемый, например, в теории цепей.
Однако, факт нетривиальный и довольно тяжело доказываемый без привлечения векторного потенциала.
С данными же подсказками доказательство оказывается тривиальным.
Достаточно понять, что написано в правых частях (7.8) и (7.10), и записать одно равенство.

[Anton_74]

Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):

$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{I d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert} (7.10)$

У меня только вопрос по формуле (7.10).

Почему там появляется вектор слева?

Если рассмотреть пример $I(t) = I$
Если $I$ постоянное, то его можно вынести из под знака интеграла.

$\vec{A}(\vec{r'}) = \frac{\mu_0 I }{4 \pi} \oint\limits_{}^{} \frac{ d\vec{l}}{\left\lvert \vec{r} - \vec{r'}\right\rvert}$
Тогда каким образом определяется направление этого вектора? В знаменателе модуль вектора. Суммируется касательные векторы во всех точках контура, по которому делается обход.

[EUgeneUS]

Anton_74 в сообщении #1507637 писал(а):

Если рассмотреть пример $I(t) = I$
Если $I$ постоянное, то его можно вынести из под знака интеграла.

Ну да, электродинамика вынеслась из-под интеграла, осталась одна геометрия.
Обратите внимание, что если виток не двигается, то в 7.10 под знаком интеграла от времени может зависеть только $I(t)$, и мы можем точно так же его вынести. Главное, чтобы $I$ не менялся вдоль контура, по которому интегрируем.

Anton_74 в сообщении #1507637 писал(а):

Почему там появляется вектор слева?

Если мы суммируем очень много маленьких векторов, то что у нас должно получиться? Не скаляр же.

Представить это себе можно так.
1. Разбиваем наш контур на кучу (на $N$) маленьких кусочков $\Delta l_i$, для простоты одинаковых: $\Delta l_i = \frac{l}{N}$, где $l$ - длина контура, $i$ - номер кусочка от $1$ до $N$.
2. Для каждого кусочка, например в его начале, находим единичный вектор касательной $\vec{n}_i$
3. Умножаем его на длину этого кусочка: $\frac{l \vec{n_i}}{N}$
4. Умножаем на некую скалярную функцию, зависящую от координат: $\frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N}$, где $\vec{r_i}$ - радиус вектор-до $i$-го кусочка, а $\vec{r'}$ - радиус-вектор до точки для которой считаем векторный потенциал.
5. Все суммируем: $\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N}$
6. Переходим к интегралу, как пределу этой суммы при $N \to \infty$

$$ \vec{A}(\vec{r'}) = \lim\limits_{N \to \infty}^{} \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N} = \oint\limits_{L}^{} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \vec{d l}$$

[Emergency]

Anton_74 в сообщении #1507463 писал(а):

Насколько я понял эти витки не соединены? Т.е. не водной цепи.

Если ток один и тот же, то это соединенные последовательно витки (или ничем не отличающиеся от соединенных последовательно).

[EUgeneUS]

Совершенно неважно, соединены витки или нет.

Это могут быть разные витки, в первый из которых вчера запустили ток $I_1(t)$, а во второй - сегодня ток $I_2(t) = I_1(t-24 \text{h})$
Тогда и эдс будут равны со сдвигом в 24 часа.

[Anton_74]

EUgeneUS в сообщении #1507660 писал(а):

$$ \vec{A}(\vec{r'}) = \lim\limits_{N \to \infty}^{} \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{|\vec{r_i} - \vec{r'}|} \frac{l \vec{n_i}}{N} = \oint\limits_{L}^{} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \vec{d l}$$

Спасибо за подробный ответ.

У меня просто не укладывалось, как этот вектор формировался. Ну просто если рассмотреть виток в некоторой плоскости, то все вектора $\vec{dl}$ будут лежать в этой плоскости. Мне кажется очевидным, что если складывать вектора, которые лежат в плоскости, то получится вектор, также лежащий в этой плоскости. Но по смыслу векторного потенциала $\vec{A}(\vec(r))$, то он не должен лежать в плоскости. Или я опять что-то упускаю?

[EUgeneUS]

Мы можем посчитать векторной потенциал для любой точки - радиус-вектор $\vec{r'}$ (в моих обозначениях выше) можно выбрать любым.
Поэтому, конечно, нельзя говорить, что "векторный потенциал лежит в одной плоскости".
Но Вы сделали хорошее наблюдение: если имеем плоский контур, то вектор векторного потенциал лежит в плоскости
а) проходящей через заданную точку $\vec{r'}$ (для которой его и считаем)
б) и параллельной плоскости, в которой лежит контур.

Наблюдение хорошее, то в данной задаче не помогает.
Так как для решения уже всё и так есть. Нужно только аккуратно ввести обозначения для двух контуров, два раза подставить (7.10) в (7.8) и убедиться, что получится одно и то же.

-- 03.03.2021, 22:33 --

UPD:

EUgeneUS в сообщении #1507742 писал(а):

Мы можем посчитать векторной потенциал для любой точки - радиус-вектор $\vec{r'}$ (в моих обозначениях выше) можно выбрать любым.

не совсем для любой - на самом контуре нельзя выбирать, иначе интеграл разойдётся.

[Anton_74]

EUgeneUS в сообщении #1507471 писал(а):

Вот и докажите, что $\Phi_{12} = \Phi_{21}$ через векторный потенциал и данные подсказки.

Допустим есть два витка $L_1, L_2$.
Рассмотрим элементарные вектора этих контуров $d\vec{l_1}, d\vec{l_2}$, $\vec{r_1}, \vec{r_2}$ - радиус вектора этих элементарных векторов.

Тогда векторный потенциал создаваемый контуром $L_1$ для $d\vec{l_2}$ в положении $\vec{r_2}$ равняется:

$\vec{A}_{21}(d\vec{l_2}(\vec{r_2})) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_1} \frac{I(t))d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$.

Поток во втоом викте $L_2$ создаваемый первым виктом $L_1$:

$\Phi_{21} = \int_{area_2} \vec{B}_{21} d\vec{S_2} = \int_{area_2} (\vec{\nabla \times} \vec{A}) d\vec{S_2} = \oint_{L_2} d\vec{l_2} \vec{A}_{21} = \oint_{L_2} d\vec{l_2} \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_1} \frac{I(t))d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{\mu_0 I(t)}{4 \pi} \oint_{L_2} d\vec{l_2} \oint_{L_1} \frac{d\vec{l_1}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$

То же самое векторный потенциал создаваемый контуром $L_2$ для $d\vec{l_1}$ в положении $\vec{r_1}$ равняется:

$\vec{A}_{12}(d\vec{l_1}(\vec{r_1})) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_2} \frac{I(t))d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$.

Поток во втоом викте $L_1$ создаваемый вторым виктом $L_2$:

$\Phi_{12} = \int_{area_1} \vec{B}_{12} d\vec{S_1} = \int_{area_1} (\vec{\nabla \times} \vec{A}) d\vec{S_1} = \oint_{L_1} d\vec{l_1} \vec{A}_{12} = \oint_{L_1} d\vec{l_1} \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{L_2} \frac{I(t))d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{\mu_0 I(t)}{4 \pi} \oint_{L_1} d\vec{l_1} \oint_{L_2} \frac{d\vec{l_2}}{|\vec{r_1} - \vec{r_2}|}$

Вопрос: если можно менять порядки интегрирования, то задача решена?

[EUgeneUS]

Anton_74 в сообщении #1509767 писал(а):

Вопрос: если можно менять порядки интегрирования, то задача решена?

Да, всё верно. Кроме правописания .
Обозначения Вы ввели удачно, это позволило всё наглядно показать, но вот тут, имхо, не очень:

Anton_74 в сообщении #1509767 писал(а):

$\vec{A}_{21}(d\vec{l_2}(\vec{r_2})) = ... $.

$\vec{A}_{21}$ - это потенциал в точке контура $L_2$, то есть в $\vec{r_2}$. А то, что в этой же точке расположен элемент контура $\vec{l_2}$ - это уже дело следующее. Поэтому, имхо, аккуратнее записать проще:
$\vec{A}_{21}(\vec{r_2}) = ... $
На выкладки это не повлияло, так что можете считать придирками

В данном случае менять порядок интегрирования можно (и нужно).

(Оффтоп)

Но математически строго доказать это, моих остаточных знаний уже не хватит

[Anton_74]

EUgeneUS в сообщении #1509801 писал(а):

Да, всё верно. Кроме правописания .

Кстати, да непривычно получилось.
Спасибо!