(Оффтоп)
Итак, извините, пожалуйста, уже ночью писал, а потом ужинать ушел... Встал - редактировал, дописывал.
Что-то как будто получилось, но в голове укладывается еще плохо. Проверьте, пожалуйста. Смотрите. Обозначим
![$M=\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$ $M=\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a710909dc4f44648cc0454238fe4082882.png)
. Рассмотрим соответствие

, ставящее в соответствие каждому

число

. Соответствие

отображает множество

, т. к., ввиду общепринятого соглашения о дробной части числа выполняется неравенство

, а, значит,

, в полуинтервал
![$(0,\,1]$ $(0,\,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474b68ea9f9ae01bfd255a93f7abb5c582.png)
. Здесь использовалось еще и то, что, если

, то

Далее, без труда доказывается, что

является отображением

не "в", а "на" этот полуинтервал: берем какое-нибудь

из этого интервала, тогда, если

, то прообразом

при

будет принадлежащее множеству

число

(здесь используется еще и, что, есои
![$b\in(0,\,1]$ $b\in(0,\,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/9/37977e3cf35474e3afa6b9abe4d8624982.png)
, то

). Инъективность

с областью определения

на полуинтервал
![$(0,\,1]$ $(0,\,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474b68ea9f9ae01bfd255a93f7abb5c582.png)
очевидна. Итак, получили, что

с областью определения

на полуинтервал
![$(0,\,1]$ $(0,\,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474b68ea9f9ae01bfd255a93f7abb5c582.png)
- на самом деле биекция. Таким образом, множествам, входящим в определение множества

, при биекции

будут соответствовать следющие:
![$$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\
\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\\
\hdotsfor{1}\\
\left[2n,\,2n+1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+3},\,\dfrac{1}{n+1}\right]\\
\left[2n+2,\,2n+3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+5},\,\dfrac{1}{n+2}\right]\\
\hdotsfor{1}
\end{matrix}$$ $$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\
\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\\
\hdotsfor{1}\\
\left[2n,\,2n+1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+3},\,\dfrac{1}{n+1}\right]\\
\left[2n+2,\,2n+3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+5},\,\dfrac{1}{n+2}\right]\\
\hdotsfor{1}
\end{matrix}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/4/c3401beb8fde74b692f2d1face76f9a882.png)
Ради интереса возьмем какое-нибудь число

, заключенное между правым концом какого-нибудь отрезка-образа и левым концом предыдущего образа:

. Тогда будет

или

, но тогда

и прообразом

будет служить число

, принадлежщее... интервалу
![$\left[2n,\,2n+1\right]$ $\left[2n,\,2n+1\right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/a/bfacb86339a37a3b4a77ac479bc5421f82.png)
. Странно, опять какая-то ерунда получилась.