2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение01.03.2021, 21:48 
Заблокирован


16/04/18

1129
Если попробовать по простому, сначала отобразить [2;3] на интервал (1;2). И так далее, исходное множество сжать на всю полупрямую. А потом полупрямую на отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение01.03.2021, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Sinoid
Ваша работа по поиску функции $\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }$ не была напрасной. Функция хороша, только Вы её неправильно используете.

0) Запись можно чуть упростить: $\dfrac{1}{x+1-0.5\lfloor x\rfloor}$ .
1) Областью определения следует считать $(0,1)\cup(2,3)\cup\ldots$
Sinoid в сообщении #1507213 писал(а):
$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}$
2) Интервал $(0,1)$ отображается не на $(\frac 23,1)$, а на $(\frac 12,1)$.
Интервал $(2,3)$ отображается не на $(\frac 25,\frac 12)$, а на $(\frac 13,\frac 12)$.
И так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение01.03.2021, 23:52 


03/06/12
2874
novichok2018 в сообщении #1507238 писал(а):
Если попробовать по простому, сначала отобразить [2;3] на интервал (1;2).

Так ведь интервал-образ незамкнут. Поэтому на полупрямой-образе будут точки, не имеющие прообраза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Так Вы же опять исходите из непрерывности отображения. А ведь в теореме 3, или как её там, была продемонстрирована техника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 13:15 


03/06/12
2874
kmpl в сообщении #1507051 писал(а):
Что касается биекции отрезка и интервала, то её лучше построить явно.

mihaild в сообщении #1507232 писал(а):
Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.

В принципе, и писать нечего: в книге дано доказательство этой теоремы методами конструктивной математики:
Изображение
Мне остается тупо повторить это доказательство в контексте данного множества.

Итак, мне нужно доказать, что между интервалами $M_1=\left[0,\,1\right]$ и $M_2=\left[0,\,1\right)$ можно установить взаимно однозначное соответствие. Беру в $M_1$ счетное множество $P=\left\{ 1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{3},\ldots\right\}$ и пусть $Q=M_{1}\backslash P$, тогда, ставя в соответствие каждому элементу множества $Q\subset M_{1}$ тот же самый элемент множества $M_2$, а каждому элементу $\dfrac{1}{i+1}$, $i=0,\,1,\,2,\ldots$ множества $M_1$ элемент $\dfrac{1}{i+2}$ множества $M_1$, я и получаю искомое взаимно однозначное соответствие между интервалами $M_1=\left[0,\,1\right]$ и $M_2=\left[0,\,1\right)$. В свою очередь точно также между интервалами $M_2=\left[0,\,1\right)$ и $M_3=\left(0,\,1\right)$ точно таким же способом можно установить взаимно однозначное соответствие. Но это означает, что и между $M_1$ и $M_3$ тоже можно установить взаимно однозначное соответствие. И этот же прием я могу использовать и для любого другого интервала, входящего в объединение интервалов
Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):
$\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$
. Итак, исходная задача заменяется следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\left(4,\,5\right)\cup\ldots$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$.
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 14:19 


03/06/12
2874
А далее, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между интервалам следующим образом: $(2p,\,2p+1)\leftrightarrow((2p)-p,\,(2p+1)-p)$, где $p=0,\,1,\ldots$, мы последнюю переформулировку исходной задачи вполне можем заменить следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(1,\,2\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$..
Далее, между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(1,\,2\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots$ и множеством $\ensuremath{\left(0,\,1\right)\cup\left\{ 1\right\} \cup\left(1,\,2\right)\cup\left\{ 2\right\} \cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots}$ я, по той же теореме могу установить взаимно-однозначное соответствие, а это означает, что решение исходной задачи мы вообще можем заменить решением следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между интервалом $(0,\,+\infty)$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$..
Скажите, пожалуйста, я правильно мыслю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Вам надо
1) Указать биекцию между
$X=(0,1)\cup(2,3)\cup(4,5)\cup...$
и
$Y=(1,\frac12)\cup(\frac 12,\frac 13)\cup(\frac 13,\frac 14)\cup...$
В $Y$ у меня неверный порядок концов интервалов в каждой скобке, но Вы понимаете, зачем я так написал.
Это делает Ваша функция $\frac{1}{0.5\lfloor x\rfloor+1+\left\{ x\right\} }$ , ну и обратная к ней.

2) Указать биекцию между "оставшимися" счётными множествами $\mathbb N_0$ и $[0,1]\setminus Y$. Тут будет какое-то другое правило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 15:04 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
Sinoid в сообщении #1507378 писал(а):
Скажите, пожалуйста, я правильно мыслю?
Правильно, только слишком сложно и долго. И, по-моему, тут устанавливать соответствие какой-то единой формулой --- совершенно лишнее украшательство (не в обиду коллеге будь сказано). Достаточно как-то его описать более-менее явно. Скажем, разбиваем одно множество на счетное число интервалов $(0,1)$, $(2,3),\ldots$, и еще счетное множество $\{0,1,2,3,\ldots\}$. А второе --- опять-таки на счетное число интервалов $(1/2,1)$, $(1/3,1/2)$, $\ldots$, и счетное множество $\{0; 1/2,1/3,\ldots\}$. И потом интервал на интервал (аффинным отображением, скажем), а счетные остатки один на другой, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 20:01 


03/06/12
2874

(Оффтоп)

Уважаемые модераторы! Дабы не захламлять форум, не могли бы вы эту тему соединить с вот этой?


-- 02.03.2021, 21:08 --

vpb в сообщении #1507389 писал(а):
И, по-моему, тут устанавливать соответствие какой-то единой формулой --- совершенно лишнее украшательство (не в обиду коллеге будь сказано). Достаточно как-то его описать более-менее явно.

Да, я тоже так думаю, но все равно попробую понять, что мне хочет сказать и уважаемый svv, хотя по большому счету, получается, что задача уже решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 21:21 


03/06/12
2874
svv в сообщении #1507263 писал(а):
Sinoid в сообщении #1507213

писал(а):
$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}$ 2) Интервал $(0,1)$ отображается не на $(\frac 23,1)$, а на $(\frac 12,1)$.
Интервал $(2,3)$ отображается не на $(\frac 25,\frac 12)$, а на $(\frac 13,\frac 12)$.
И так далее.

Неужели такое сильное изменение влечет за собой не замена вот этой функции:
svv в сообщении #1507263 писал(а):
$\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }$

на вот эту:
svv в сообщении #1507263 писал(а):
$\dfrac{1}{x+1-0.5\lfloor x\rfloor}$

, а всего лишь исключение из замкнутых с обеих сторон интервалов их концов? :shock:

-- 02.03.2021, 23:04 --

svv в сообщении #1507385 писал(а):
2) Указать биекцию между "оставшимися" счётными множествами $\mathbb N_0$ и $[0,1]\setminus Y$. Тут будет какое-то другое правило.

По сути вы предыдущим пунктом все решили. Мне же осталось построить биекцию между $\left\{ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\ldots\right\}$ и $\left\{ 0,\,\dfrac{1}{1},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{4},\ldots\right\}$. Ясно. Кажись, разобрался. Спасибо всем большое за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение02.03.2021, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1507509 писал(а):
а всего лишь исключение из замкнутых с обеих сторон интервалов их концов?
Да, именно. (Насчёт преобразования Вашей формулы к другому виду не беспокойтесь — оно тождественное.)

При $x\geqslant 0$ функция непрерывна на интервалах $(n,n+1)$, а в точках $x=n$ имеет скачок (где $n\in\mathbb N_0$). В точках разрыва значение функции совпадает с правосторонним пределом $\frac 2{2+n}$, но не совпадает с левосторонним $\frac 2{3+n}$.
vpb в сообщении #1507389 писал(а):
И потом интервал на интервал (аффинным отображением, скажем)
Так отображение интервалов 1) уже найдено и 2) единой формулой задаёт отображение для всех интервалов. Зачем такое выбрасывать?
А "аффинное отображение" — это два слова лишь на уровне идеи. Строгий преподаватель (либо компилятор программы) всё равно потребует построить все эти отображения в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень, задача 38
Сообщение03.03.2021, 08:46 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
svv в сообщении #1507533 писал(а):
Строгий преподаватель (либо компилятор программы) всё равно потребует построить все эти отображения в явном виде.
Это, наверное, какой-то чересчур строгий преподаватель. У меня бы такое в чужом тексте или речи никаких вопросов не вызвало. А я, надо сказать, весьма въедлив.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group