Что касается биекции отрезка и интервала, то её лучше построить явно.
Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.
В принципе, и писать нечего: в книге дано доказательство этой теоремы методами конструктивной математики:
Мне остается тупо повторить это доказательство в контексте данного множества.
Итак, мне нужно доказать, что между интервалами
и
можно установить взаимно однозначное соответствие. Беру в
счетное множество
и пусть
, тогда, ставя в соответствие каждому элементу множества
тот же самый элемент множества
, а каждому элементу
,
множества
элемент
множества
, я и получаю искомое взаимно однозначное соответствие между интервалами
и
. В свою очередь точно также между интервалами
и
точно таким же способом можно установить взаимно однозначное соответствие. Но это означает, что и между
и
тоже можно установить взаимно однозначное соответствие. И этот же прием я могу использовать и для любого другого интервала, входящего в объединение интервалов
. Итак, исходная задача заменяется следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством и отрезком .Верно?