Что касается биекции отрезка и интервала, то её лучше построить явно.
Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.
В принципе, и писать нечего: в книге дано доказательство этой теоремы методами конструктивной математики:

Мне остается тупо повторить это доказательство в контексте данного множества.
Итак, мне нужно доказать, что между интервалами
![$M_1=\left[0,\,1\right]$ $M_1=\left[0,\,1\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/b/47b0e304f91003755ad2e5416ec808fc82.png)
и

можно установить взаимно однозначное соответствие. Беру в

счетное множество

и пусть

, тогда, ставя в соответствие каждому элементу множества

тот же самый элемент множества

, а каждому элементу

,

множества

элемент

множества

, я и получаю искомое взаимно однозначное соответствие между интервалами
![$M_1=\left[0,\,1\right]$ $M_1=\left[0,\,1\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/b/47b0e304f91003755ad2e5416ec808fc82.png)
и

. В свою очередь точно также между интервалами

и

точно таким же способом можно установить взаимно однозначное соответствие. Но это означает, что и между

и

тоже можно установить взаимно однозначное соответствие. И этот же прием я могу использовать и для любого другого интервала, входящего в объединение интервалов
. Итак, исходная задача заменяется следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством
и отрезком
.Верно?