Верещагин, Шень, задача 38

[Sinoid]

Здравствуйте! Пока жду отзыва о этом своем посте (надеюсь, я его все-таки дождусь), хотелось бы посоветоваться с вами о решении следующей задачи № 38:

Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством $\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$.

Я вот что не пойму. Вот, допустим, мы это отображение $f$ благополучно построили. Т. к. исходно были замкнутые интервалы, то, и их образы при этом отображении тоже будут замкнутые интервалы. Хорошо. Возьмем, к примеру, 2 интервала $\left[0,\,1\right]$ и $\left[2,\,3\right]$. Пусть им соответствуют замкнутые интервалы $\left[a_{0},\, a_{1}\right]$ и $\left[a_{2},\, a_{3}\right]$. Предположим, для определенности, $a_{1}<a_{2}$ (интервалы ведь, ввиду взаимной однозначности $f$ непересекающиеся!) Но ведь после числа $a_{1}$ нет однозначно определенного следующего, между тем, как после интервала $\left[a_{0},\, a_{1}\right]$ будет стоять однозначно определенный следующий, возможно, вовсе и не $\left[a_{2},\, a_{3}\right]$. И как быть с таким соображением? Заранее спасибо.

З. Ы. Если я, все-таки получу реакцию на упомянутый мной пост, я хотел бы попросить модераторов соединить эту тему с той.

[пианист]

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

после интервала $\left[a_{0},\, a_{1}\right]$ будет стоять однозначно определенный следующий

Это неправильное рассуждение.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

Т. к. исходно были замкнутые интервалы, то, и их образы при этом отображении тоже будут замкнутые интервалы

Почему?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- условие задачи наберите, пожалуйста.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Sinoid]

пианист в сообщении #1506987 писал(а):

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

после интервала $\left[a_{0},\, a_{1}\right]$ будет стоять однозначно определенный следующий

Это неправильное рассуждение.

mihaild в сообщении #1506988 писал(а):

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

Т. к. исходно были замкнутые интервалы, то, и их образы при этом отображении тоже будут замкнутые интервалы

Почему?

Да, вы оба правы: в моих рассуждениях явно содержится изъян. Я был бы очень вам признателен, если бы вы мне помогли понять, где.

-- 28.02.2021, 20:21 --

mihaild в сообщении #1506988 писал(а):

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

Т. к. исходно были замкнутые интервалы, то, и их образы при этом отображении тоже будут замкнутые интервалы

Почему?

А вот это уже интересный поворот. Если они не замкнуты, то во что, к примеру, будет переходить 1?

-- 28.02.2021, 20:27 --

пианист в сообщении #1506987 писал(а):

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

после интервала $\left[a_{0},\, a_{1}\right]$ будет стоять однозначно определенный следующий

Это неправильное рассуждение.

Думаю над этим.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1507007 писал(а):

Если они не замкнуты, то во что, к примеру, будет переходить 0?

Во что угодно. Это просто отображение, оно не обязано быть как-то связано с топологией.

-- 28.02.2021, 19:46 --

Sinoid в сообщении #1507007 писал(а):

Я был бы очень вам признателен, если бы вы мне помогли понять, где

В том числе в том, что образ отрезка замкнут.

[ewert]

Sinoid в сообщении #1507007 писал(а):

в моих рассуждениях явно содержится изъян. Я был бы очень вам признателен, если бы вы мне помогли понять, где.

Не где, а в чём. В том, что Вы интуитивно подозреваете ту биекцию в грехе непрерывности. А такое и впрямь невозможно.

Если же отбросить досужие подозрения, то можно призадуматься над базовой стандартной задачкой: установить биекцию между отрезком $[0;1]$ и интервалом $(0;1)$. Ну или хотя бы полуинтервалом -- это уже непринципиально.

"Так вот ровно так же и птички".

[Sinoid]

ewert в сообщении #1507034 писал(а):

Ну или хотя бы полуинтервалом -- это уже непринципиально.

Это не более, чем теорема 3 обсуждаемой книги:



так что продолжить его и на случай

ewert в сообщении #1507034 писал(а):

установить биекцию между отрезком $[0;1]$ и интервалом $(0;1)$

не составит особого труда. Но если вы порекомендуете, я, конечно, распишу это подробно.

Подождите. Я напишу то, что пришло в голову.

[kmpl]

Sinoid в сообщении #1507040 писал(а):

Это не более, чем теорема 3 обсуждаемой книги:

Эта теорема 3 говорит о том, что счетные множества в некотором смысле являются самыми "маленькими" среди бесконечных множеств: добавление счетного к любому бесконечному не меняет мощность последнего.

Что касается биекции отрезка и интервала, то её лучше построить явно.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Итак, извините, пожалуйста, уже ночью писал, а потом ужинать ушел... Встал - редактировал, дописывал.

Что-то как будто получилось, но в голове укладывается еще плохо. Проверьте, пожалуйста. Смотрите. Обозначим $M=\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$. Рассмотрим соответствие $f$, ставящее в соответствие каждому $x=\left\lfloor x\right\rfloor +\left\{ x\right\} $ число $\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }$. Соответствие $f$ отображает множество $M$, т. к., ввиду общепринятого соглашения о дробной части числа выполняется неравенство $0\leqslant\left\{ x\right\} <1$, а, значит, $0<\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }\leqslant1$, в полуинтервал $(0,\,1]$. Здесь использовалось еще и то, что, если $x\in M$, то $\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}>0$ Далее, без труда доказывается, что $f$ является отображением $M$ не "в", а "на" этот полуинтервал: берем какое-нибудь $a$ из этого интервала, тогда, если $\dfrac{1}{a}=\left\lfloor \dfrac{1}{a}\right\rfloor +\left\{ \dfrac{1}{a}\right\} $, то прообразом $a$ при $f$ будет принадлежащее множеству $M$ число $2\left(\left\lfloor \dfrac{1}{a}\right\rfloor -1\right)+\left\{ \dfrac{1}{a}\right\}$ (здесь используется еще и, что, есои $b\in(0,\,1]$, то $\left\lfloor \dfrac{1}{b}\right\rfloor \geqslant1$). Инъективность $f$ с областью определения $M$ на полуинтервал $(0,\,1]$ очевидна. Итак, получили, что $f$ с областью определения $M$ на полуинтервал $(0,\,1]$ - на самом деле биекция. Таким образом, множествам, входящим в определение множества $M$, при биекции $f$ будут соответствовать следющие:

$$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\ \left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\\ \hdotsfor{1}\\ \left[2n,\,2n+1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+3},\,\dfrac{1}{n+1}\right]\\ \left[2n+2,\,2n+3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{2n+5},\,\dfrac{1}{n+2}\right]\\ \hdotsfor{1} \end{matrix}$$

Ради интереса возьмем какое-нибудь число $y$, заключенное между правым концом какого-нибудь отрезка-образа и левым концом предыдущего образа: $\dfrac{1}{n+2}<y<\dfrac{2}{2n+3}$. Тогда будет $n+\dfrac{3}{2}<\dfrac{1}{y}<n+2$ или $(n+1)+\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<n+2$, но тогда $\dfrac{1}{y}=n+1+\left\{ \dfrac{1}{y}\right\}$ и прообразом $y$ будет служить число $2n+\left\{ \dfrac{1}{y}\right\} $, принадлежщее... интервалу $\left[2n,\,2n+1\right]$. Странно, опять какая-то ерунда получилась.

[mihaild]

Ваше $f$ не монотонно даже на $[0, 1]$: $f(1) = \frac{2}{3} < \frac{10}{19} = f(\frac{9}{10})$.
Вообще не пытайтесь найти непрерывную биекцию, её не существует.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1507218 писал(а):

Вообще не пытайтесь найти непрерывную биекцию, её не существует.

Я это уже понял, но у меня была слабая надежда, что конструируемая мной биекция будет отображать какой-нибудь отрезок, например, в интервал $\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3}\right)$ - это уже было бы нарушением непрерывности. Но, увы, не срослось.

[mihaild]

Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1507232 писал(а):

Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.

Ага, спасибо, попробую. Выложу.