Z2 топологические изоляторы

[gls22]

Здравствуйте!

Читаю статью C.L. Kane, E.J. Mele "Z2 Topological Order and the Quantum Spin Hall Effect", Phys. Rev. B 95, 146802 (2005), в которой обсуждается топологическая классификация квантовых систем, обратимых по времени (обладающих T-инверсией). В частности, изучается расслоение над зоной Бриллюэна и утверждается, что T-инверсия "introduces an involution on the torus [зона Бриллюэна] which identifies pairs of points k and -k", что the bundle is "real", "twisted" , "classified within the mathematical framework of twisted Real K theory [M. Atiyah, Quart. J. Math. Oxford 17, 367 (1966); M.Atiyah and G. Segal, in Michael Atiyah Collected Works (Clarendon, Oxford, 2004), Vol. 6, p. 983]. It is found that such bundles have a Z x Z2 classification on a torus." Почитал книжки по топологии [Болтянский, Nakahara], однако, так и не смог понять что означают слова "real", "twisted" и почему такое расслоение над тором классифицируется Z x Z2. Очень хочу понять что написано. Что посоветуете?:) Если кто может объяснить --- откликнитесь, пожалуйста (договоримся:).

[Slav-27]

Я думаю, что математическое утверждение тут такое. Рассмотрим 2-тор $B=T^2$ и вот такую инволюцию $\tau: T^2\to T^2$ на нём: если думать про тор как про $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$, то инволюция $[x]\mapsto [-x]$. Вещественным векторным расслоением на $(B,\tau)$ назовём комплексное векторное расслоение $\pi:E\to B$, снабжённое отображением тотального пространства $\widetilde\tau:E\to E$, со следующими свойствами:

• $\tau\pi=\pi \widetilde\tau$ (согласованность с $\tau$),
• ограничение на слой $\widetilde\tau_x:E_x\to E_{\tau(x)}$ -- комплексно антилинейный изоморфизм вещественных векторных пространств,
• $\widetilde\tau^2=1$ (тождественное отображение $E$).

Морфизм вещественных векторных расслоений на $(B,\tau)$ -- это морфизм комплексных векторных расслоений $f:E_1\to E_2$, согласованный с вещественной структурой: $\widetilde\tau_2f=f\widetilde\tau_1$.

Если $\tau$ -- тождественное отображение, то это всё равно, что вещественные векторные расслоения на $B$.

"Скрученным вещественным векторным расслоением" на $(B,\tau)$ они называют то же самое, только $\widetilde\tau^2=-1$ (умножение на $-1$ на каждом слое).

И собственно утверждение, по-видимому, такое: есть определённое взаимно-однозначное соответствие между классами стабильной эквивалентности таких расслоений и $\mathbb Z\oplus\mathbb Z_2$ (скорее всего даже изоморфизм соответствующей $K$-группы).

Расслоения $E_1$ и $E_2$ называются стабильно эквивалентными, если есть расслоение $E_3$, такое что $E_1\oplus E_3$ изоморфно $E_2\oplus E_3$; операция на таких классах -- прямая сумма. Впрочем, не знаю, как тут, а в обычной $K$-теории стабильная эквивалентность равносильна изоморфности, если ранг расслоения достаточно большой по сравнению с размерностью базы. В нашем случае размерность базы маленькая, поэтому, вероятно, $K$-теория тут вообще не по делу и это просто классификация с точнстью до изоморфизма; хотя не ручаюсь.

Про вещественные расслоения над пространством с инволюцией написано в статье Атии 1966 года, на которую они ссылаются (сейчас это называется $KR$-теория). Впрочем, я думаю, что над тором классификацию этих штук даже с точностью до изоморфзима можно построить элементарными методами, не думаю, что это сложная задача.