Я думаю, что математическое утверждение тут такое. Рассмотрим 2-тор

и вот такую инволюцию

на нём: если думать про тор как про

, то инволюция
![$[x]\mapsto [-x]$ $[x]\mapsto [-x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/5/f65145913862a5f966e7be272160f52f82.png)
. Вещественным векторным расслоением на

назовём комплексное векторное расслоение

, снабжённое отображением тотального пространства

, со следующими свойствами:
(согласованность с
),- ограничение на слой
-- комплексно антилинейный изоморфизм вещественных векторных пространств,
(тождественное отображение
).
Морфизм вещественных векторных расслоений на

-- это морфизм комплексных векторных расслоений

, согласованный с вещественной структурой:

.
Если

-- тождественное отображение, то это всё равно, что вещественные векторные расслоения на

.
"Скрученным вещественным векторным расслоением" на

они называют то же самое, только

(умножение на

на каждом слое).
И собственно утверждение, по-видимому, такое: есть определённое взаимно-однозначное соответствие между классами стабильной эквивалентности таких расслоений и

(скорее всего даже изоморфизм соответствующей

-группы).
Расслоения

и

называются стабильно эквивалентными, если есть расслоение

, такое что

изоморфно

; операция на таких классах -- прямая сумма. Впрочем, не знаю, как тут, а в обычной

-теории стабильная эквивалентность равносильна изоморфности, если ранг расслоения достаточно большой по сравнению с размерностью базы. В нашем случае размерность базы маленькая, поэтому, вероятно,

-теория тут вообще не по делу и это просто классификация с точнстью до изоморфизма; хотя не ручаюсь.
Про вещественные расслоения над пространством с инволюцией написано в статье Атии 1966 года, на которую они ссылаются (сейчас это называется

-теория). Впрочем, я думаю, что над тором классификацию этих штук даже с точностью до изоморфзима можно построить элементарными методами, не думаю, что это сложная задача.