НОД двух чисел, делящихся нацело.

[Otta]

Resa
Нужно определять. Определили же только что. Правильно.
И что значит, что $x$ общий делитель чисел $y$ и $z$?
Напишите на Вашем примере.

Resa в сообщении #1506804 писал(а):

имел в виду, что $a>b$, причем $a$ делится на $b$ без остатка.

Что тут общий делитель, что наибольший общий, почему именно он наибольший.

[Resa]

Otta в сообщении #1506816 писал(а):

И что значит, что $x$ общий делитель чисел $y$ и $z$?

Это значит, что $x$ является делителем чисел $y$ и $z$.

Otta в сообщении #1506816 писал(а):

Напишите на Вашем примере. Что тут общий делитель, что наибольший общий, почему именно он наибольший. $y$ и $z$?

$b$ является общим делителем, потому что по условию $a$ делится на $b$ без остатка, и потому, что $b=1\cdot\,b$. Значит, $b$ также делится на само себя. Нужно доказать, что $a$ и $b$ не может иметь делителей превосходящих $b$. Значит, в уравнении выше заменяем единицу на $\frac 1 2$ и получаем: $b=\frac 1 2\,\cdot2\cdot\,b$. Обозначим наш новый делитель: $c=2\cdot\,b$. Значит, $b$ имеет делители больше самого себя, это $c$. Мы не знаем, является ли $c$ делителем $a$. Это доказывает, что если одно число делится на другое нацело, то делитель не является НОД.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- подсказки даны, отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

-- 02.03.2021, 02:03 --

Resa в сообщении #1506817 писал(а):

получаем: $b=\frac 1 2\,\cdot2\cdot\,b$.

То есть $b$ делится на $2b$? А что такое "делится", в таком случае?

[Resa]

Lia в сообщении #1507266 писал(а):

То есть $b$ делится на $2b$? А что такое "делится", в таком случае?

То, что число $b$ делится на $2b$ означает, что существует такое число($\frac 1 2$), при умножении которого на число $2b$ получается число $b$.

[mihaild]

Resa в сообщении #1507274 писал(а):

То, что число $b$ делится на $2b$ означает, что существует такое число($\frac 1 2$), при умножении которого на число $2b$ получается число $b$

Это неправильное определение делимости. По нему у вас получается, что все числа делятся на все числа, кроме нуля.

[Odysseus]

Resa в сообщении #1507274 писал(а):

То, что число $b$ делится на $2b$ означает, что существует такое число($\frac 1 2$), при умножении которого на число $2b$ получается число $b$.

Интересный случай... Ок, попробуем так. В первом вашем сообщении вы написали:

Resa в сообщении #1506798 писал(а):

Очевидно, что НОД'ом будет одно из чисел, на которое другое число делится без остатка

Что тогда по вашему "остаток" и в каких случаях он может появляться?

[Евгений Машеров]

1. Если число a делит число b без остатка, является ли оно делителем числа b?
2. Является ли число a делителем числа a?
3. Существует ли число $c>a$ такое, что c является делителем a?

[Resa]

mihaild в сообщении #1507275 писал(а):

По нему у вас получается, что все числа делятся на все числа, кроме нуля.

Конечно. Это отличает числовое поле от кольца.

Odysseus в сообщении #1507276 писал(а):

Что тогда по вашему "остаток" и в каких случаях он может появляться?

Если $a>b$, то при делении $a$ на $b$ остатком будет: $r=a - bq$, при этом, $0\le r < b$.

Евгений Машеров в сообщении #1507308 писал(а):

1. Если число a делит число b без остатка, является ли оно делителем числа b?
2. Является ли число a делителем числа a?
3. Существует ли число $c>a$ такое, что c является делителем a?

Мне кажется, ровно по этим пунктам я высказался в сообщении post1506817.html#p1506817

[mihaild]

Resa в сообщении #1507391 писал(а):

Это отличает числовое поле от кольца.

Так, а в каком множестве вы по-вашему работаете? Обычно когда говорят про НОД чисел подразумеваются натуральные (или в крайнем случае целые) числа.

[Евгений Машеров]

Resa в сообщении #1507391 писал(а):

Мне кажется, ровно по этим пунктам я высказался в сообщении post1506817.html#p1506817

Тогда остаётся только выяснить, является ли a общим делителем a и b, и есть ли делитель a и b больший...

[Resa]

Евгений Машеров в сообщении #1507395 писал(а):

остаётся только выяснить, является ли a общим делителем a и b

Я начал рассматривать случай, когда $a>b$, его и продолжим рассматривать. То, что общим делителем число $b$ является мы уже выяснили. И даже выяснили, что оно не будет наибольшим делителем. Поскольку число $b$ можно разложить на произведение рационального числа, целого числа и самого $b$. Например, $b = \frac 1 4 \cdot 4 \cdot b$. И какое бы малое рациональное число мы не использовали, всегда найдется рациональное число меньше данного. Таким образом, прежде чем решить задачу отыскания НОД двух чисел, нужно доказать, что до того возможно разложить число на произведение чисел, что это разложение единственно. И только тогда можно утверждать, что в этом произведении содержится наибольший делитель этого числа. Если же не обеспечить единственность разложения, то всегда можно привести такое разложение, в котором числа будут отличаться в ту или иную сторону. Надо подумать над этим. Единственный способ, это обеспечить это ограничиться множеством натуральных чисел?

[mihaild]

Resa в сообщении #1507409 писал(а):

Единственный способ, это обеспечить это ограничиться множеством натуральных чисел?

Или любым другим евклидовым кольцом.

Вообще логично считать НОД определенным с точностью до умножения на обратимые элементы.

[Odysseus]

Resa в сообщении #1507391 писал(а):

mihaild в сообщении #1507275 писал(а):

По нему у вас получается, что все числа делятся на все числа, кроме нуля.

Конечно. Это отличает числовое поле от кольца.

Odysseus в сообщении #1507276 писал(а):

Что тогда по вашему "остаток" и в каких случаях он может появляться?

Если $a>b$, то при делении $a$ на $b$ остатком будет: $r=a - bq$, при этом, $0\le r < b$.

Если рассматривать не целые числа, а все вещественные, и позволять делиться всему на все кроме нуля, то теряют смысл всякие рассуждения о делимости, НОД и остатках. Последние, например, всегда будут равны нулю (ведь на $q$ при этом не будет налагаться никаких условий, значит всегда можно будет взять $q = \frac a b$)