Осциллятор с вязким трением

[Mihr]

Имеется гармонический осциллятор с вязким трением. В результате изменения параметров осциллятора его логарифмический декремент затухания уменьшили в точности в два раза. При этом добротность осциллятора возросла в $1{,}98$ раза. Определить первоначальное значение добротности осциллятора.

Замечание. Определения добротности, приводимые в разных учебных пособиях, не всегда в точности соответствуют друг другу. Поэтому оговорюсь: в данной задаче под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

[DimaM]

Mihr
Надо по определениям пройтись.
Вот есть уравнение осциллятора с трением

$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=0.$$

Что вы называете добротностью? Это $Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}$, $Q=\frac{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}{2\gamma}$, что-нибудь еще?

[Mihr]

DimaM, известно, что для высокодобротного контура справедливо соотношение $Q\approx\dfrac{\pi}{\delta}$, где $\delta$ - логарифмический декремент затухания осциллятора.
Задача естественно родилась из вопроса: каково же точное (не приближённое) соотношение между $Q$ и $\delta$?
Привычное мне определение добротности я привёл:

Mihr в сообщении #1506092 писал(а):

под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

Ничего иного я не подразумевал. Именно на основании этой фразы и строится формула для добротности. Написать эту формулу - значит, уже практически решить задачу.
Если хотите, я напишу своё решение задачи: всё равно к ней интереса пока (кроме Вас) никто не проявил. Написать?

[DimaM]

Mihr в сообщении #1506556 писал(а):

Ничего иного я не подразумевал. Именно на основании этой фразы и строится формула для добротности.

Это все здорово, пока затухание маленькое. А если не очень - начинается дьявол в деталях.
Например, "запасенная энергия" - это в начале периода, в конце, в середине?

Mihr в сообщении #1506556 писал(а):

Если хотите, я напишу своё решение задачи: всё равно к ней интереса пока (кроме Вас) никто не проявил. Написать?

Не стоит, пожалуй. Ловля блох в определениях - это не очень интересно.

[Mihr]

DimaM в сообщении #1506557 писал(а):

Например, "запасенная энергия" - это в начале периода, в конце, в середине?

В том-то и дело, что в любой момент. Это отношение оказывается совершенно одинаковым для всех моментов времени.

DimaM в сообщении #1506557 писал(а):

Ловля блох в определениях - это не очень интересно.

Как хотите.

[svv]

Mihr, простите, тот же вопрос возник и у меня, так что я постараюсь донести его. Пусть моменты времени $t_1$ и $t_2$ отстоят на период: $t_2-t_1=T$. Между этими моментами осциллятор потерял энергию $E(t_1)-E(t_2)$.
Любое из этих выражений можно назвать отношением запасённой в осцилляторе энергии к энергии, теряемой им за период:
$\begin{array}{l}\frac{E(t_1)}{E(t_1)-E(t_2)}\\[1ex]\frac{E(t_2)}{E(t_1)-E(t_2)}\\[1ex]\frac{E((t_1+t_2)/2)}{E(t_1)-E(t_2)}\end{array}$
Я верю, что все они при условии $t_2-t_1=T$ не зависят от времени, но как выбрать из них «самое правильное»? (раз уж мы действительно хотим точности и определённости)

[Mihr]

svv,
пусть у нас сначала осциллятор без трения. Тогда спустя период колебаний и его координата и его скорость возвращаются к прежним значениям. Это очевидно.
А что в случае трения? Тогда спустя период колебаний как координата осциллятора, так и его скорость умножатся на коэффициент $e^{-\delta}$, где $\delta$ - логарифмический декремент затухания. Согласны?
Выходит, энергия осциллятора умножится на коэффициент $e^{-2\delta}$. И этот результат никак не зависит от того, от какого момента времени мы ведём отсчёт.
Поэтому в любом случае потери энергии за период составят $W(1-e^{-2\delta})$, где $W$ - энергия осциллятора в момент времени, (произвольно) принятый за начальный. Согласно определению добротности отсюда получаем
$Q=\dfrac{2\pi}{1-e^{-2\delta}}$
Далее несложно.

[svv]

Mihr в сообщении #1506568 писал(а):

Выходит, энергия осциллятора умножится на коэффициент $e^{-2\delta}$.

Да. То есть если в начале периода энергия была $E_1$, а в конце периода $E_2$, то $E_2=E_1e^{-2\delta}$. Потери составят $\Delta E=E_1-E_2$.
Вопрос в том, какое из этих $E$ должно быть в числителе выражения для добротности, $E_1$ или $E_2$? Или, может быть, энергия в середине периода, $E_m=E_1e^{-\delta}=E_2e^\delta$? При любом выборе отношение $E/\Delta E$ не будет зависеть от времени. Однако оно будет зависеть от этого выбора.
(Пожалуйста, посмотрите ещё раз на выражения в моём предыдущем сообщении.)

[Mihr]

svv, мне казалось, что отношение энергий, о котором идёт речь в определении, может означать только $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ (где $t$ - произвольный момент времени) и ничто иное. Это действительно соответствует первому из Ваших равенств. Остальные равенства я бы словами описал как-нибудь иначе... Ну, что ж, раз два человека говорят, что у меня плохая формулировка, значит, видимо, так оно и есть

[DimaM]

Mihr в сообщении #1506560 писал(а):

В том-то и дело, что в любой момент. Это отношение оказывается совершенно одинаковым для всех моментов времени.

Это мне непонятно.
Отношение энергии в начале периода к потерям за период равно $1/(1-\exp(-2\gamma T))$. Отношение энергии в конце периода к потерям за период равно $\exp(-2\gamma T)/(1-\exp(-2\gamma T))$, очевидно другое.
Если брать энергию в начале для определения добротности, то исходная добротность у меня получилась

$$Q_0=\frac{1}{1-(k-1)^2}=\frac{1}{k(2-k)},$$

где $k=1{,}98$.
(Чтоб перед после запятой не было лишнего пробела, нужно ее заключить в фигурные скобки.)

[Mihr]

DimaM в сообщении #1506649 писал(а):

Это мне непонятно.

Как выяснилось, мы говорим о разных вещах. Я имел в виду следующее: отношение $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ одинаково для всех моментов времени. Именно это отношение я и имел в виду, когда говорил:

Mihr в сообщении #1506092 писал(а):

под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

[DimaM]

Mihr в сообщении #1506661 писал(а):

Я имел в виду следующее: отношение $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ одинаково для всех моментов времени.

В таком виде все строго. Для этого случая я выше ответ написал, только без $2\pi$.

[Mihr]

Ну, хорошо. Эта задача явно обсуждается дольше, чем она того стоит

DimaM в сообщении #1506649 писал(а):

Чтоб перед запятой не было лишнего пробела, нужно ее заключить в фигурные скобки.

Спасибо, исправил.