2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Осциллятор с вязким трением
Сообщение23.02.2021, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Имеется гармонический осциллятор с вязким трением. В результате изменения параметров осциллятора его логарифмический декремент затухания уменьшили в точности в два раза. При этом добротность осциллятора возросла в $1{,}98$ раза. Определить первоначальное значение добротности осциллятора.

Замечание. Определения добротности, приводимые в разных учебных пособиях, не всегда в точности соответствуют друг другу. Поэтому оговорюсь: в данной задаче под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 13:24 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Mihr
Надо по определениям пройтись.
Вот есть уравнение осциллятора с трением
$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=0.$$
Что вы называете добротностью? Это $Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}$, $Q=\frac{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}{2\gamma}$, что-нибудь еще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
DimaM, известно, что для высокодобротного контура справедливо соотношение $Q\approx\dfrac{\pi}{\delta}$, где $\delta$ - логарифмический декремент затухания осциллятора.
Задача естественно родилась из вопроса: каково же точное (не приближённое) соотношение между $Q$ и $\delta$?
Привычное мне определение добротности я привёл:
Mihr в сообщении #1506092 писал(а):
под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

Ничего иного я не подразумевал. Именно на основании этой фразы и строится формула для добротности. Написать эту формулу - значит, уже практически решить задачу.
Если хотите, я напишу своё решение задачи: всё равно к ней интереса пока (кроме Вас) никто не проявил. Написать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 14:44 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Mihr в сообщении #1506556 писал(а):
Ничего иного я не подразумевал. Именно на основании этой фразы и строится формула для добротности.

Это все здорово, пока затухание маленькое. А если не очень - начинается дьявол в деталях.
Например, "запасенная энергия" - это в начале периода, в конце, в середине?

Mihr в сообщении #1506556 писал(а):
Если хотите, я напишу своё решение задачи: всё равно к ней интереса пока (кроме Вас) никто не проявил. Написать?

Не стоит, пожалуй. Ловля блох в определениях - это не очень интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
DimaM в сообщении #1506557 писал(а):
Например, "запасенная энергия" - это в начале периода, в конце, в середине?

В том-то и дело, что в любой момент. Это отношение оказывается совершенно одинаковым для всех моментов времени.
DimaM в сообщении #1506557 писал(а):
Ловля блох в определениях - это не очень интересно.

Как хотите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 15:10 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков
Mihr, простите, тот же вопрос возник и у меня, так что я постараюсь донести его. Пусть моменты времени $t_1$ и $t_2$ отстоят на период: $t_2-t_1=T$. Между этими моментами осциллятор потерял энергию $E(t_1)-E(t_2)$.
Любое из этих выражений можно назвать отношением запасённой в осцилляторе энергии к энергии, теряемой им за период:
$\begin{array}{l}\frac{E(t_1)}{E(t_1)-E(t_2)}\\[1ex]\frac{E(t_2)}{E(t_1)-E(t_2)}\\[1ex]\frac{E((t_1+t_2)/2)}{E(t_1)-E(t_2)}\end{array}$
Я верю, что все они при условии $t_2-t_1=T$ не зависят от времени, но как выбрать из них «самое правильное»? (раз уж мы действительно хотим точности и определённости)

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 16:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
svv,
пусть у нас сначала осциллятор без трения. Тогда спустя период колебаний и его координата и его скорость возвращаются к прежним значениям. Это очевидно.
А что в случае трения? Тогда спустя период колебаний как координата осциллятора, так и его скорость умножатся на коэффициент $e^{-\delta}$, где $\delta$ - логарифмический декремент затухания. Согласны?
Выходит, энергия осциллятора умножится на коэффициент $e^{-2\delta}$. И этот результат никак не зависит от того, от какого момента времени мы ведём отсчёт.
Поэтому в любом случае потери энергии за период составят $W(1-e^{-2\delta})$, где $W$ - энергия осциллятора в момент времени, (произвольно) принятый за начальный. Согласно определению добротности отсюда получаем
$Q=\dfrac{2\pi}{1-e^{-2\delta}}$
Далее несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 16:23 
Заслуженный участник


23/07/08
9156
Харьков
Mihr в сообщении #1506568 писал(а):
Выходит, энергия осциллятора умножится на коэффициент $e^{-2\delta}$.
Да. То есть если в начале периода энергия была $E_1$, а в конце периода $E_2$, то $E_2=E_1e^{-2\delta}$. Потери составят $\Delta E=E_1-E_2$.
Вопрос в том, какое из этих $E$ должно быть в числителе выражения для добротности, $E_1$ или $E_2$? Или, может быть, энергия в середине периода, $E_m=E_1e^{-\delta}=E_2e^\delta$? При любом выборе отношение $E/\Delta E$ не будет зависеть от времени. Однако оно будет зависеть от этого выбора.
(Пожалуйста, посмотрите ещё раз на выражения в моём предыдущем сообщении.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение25.02.2021, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
svv, мне казалось, что отношение энергий, о котором идёт речь в определении, может означать только $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ (где $t$ - произвольный момент времени) и ничто иное. Это действительно соответствует первому из Ваших равенств. Остальные равенства я бы словами описал как-нибудь иначе... Ну, что ж, раз два человека говорят, что у меня плохая формулировка, значит, видимо, так оно и есть :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение26.02.2021, 10:43 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Mihr в сообщении #1506560 писал(а):
В том-то и дело, что в любой момент. Это отношение оказывается совершенно одинаковым для всех моментов времени.

Это мне непонятно.
Отношение энергии в начале периода к потерям за период равно $1/(1-\exp(-2\gamma T))$. Отношение энергии в конце периода к потерям за период равно $\exp(-2\gamma T)/(1-\exp(-2\gamma T))$, очевидно другое.
Если брать энергию в начале для определения добротности, то исходная добротность у меня получилась
$$Q_0=\frac{1}{1-(k-1)^2}=\frac{1}{k(2-k)},$$
где $k=1{,}98$.
(Чтоб перед после запятой не было лишнего пробела, нужно ее заключить в фигурные скобки.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение26.02.2021, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
DimaM в сообщении #1506649 писал(а):
Это мне непонятно.

Как выяснилось, мы говорим о разных вещах. Я имел в виду следующее: отношение $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ одинаково для всех моментов времени. Именно это отношение я и имел в виду, когда говорил:
Mihr в сообщении #1506092 писал(а):
под добротностью понимается взятое с коэффициентом $2\pi$ отношение энергии, запасённой в осцилляторе, к энергии, теряемой за счёт диссипативных процессов за один период колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение26.02.2021, 12:06 
Заслуженный участник


28/12/12
6983
Mihr в сообщении #1506661 писал(а):
Я имел в виду следующее: отношение $\dfrac{E(t)}{E(t)-E(t+T)}$ одинаково для всех моментов времени.

В таком виде все строго. Для этого случая я выше ответ написал, только без $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осциллятор с вязким трением
Сообщение26.02.2021, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
3387
Ну, хорошо. Эта задача явно обсуждается дольше, чем она того стоит :-)
DimaM в сообщении #1506649 писал(а):
Чтоб перед запятой не было лишнего пробела, нужно ее заключить в фигурные скобки.

Спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group